Quanti autovalori ha una matrice

[studente-studente]

Buongiorno, c'è un teorema o altro che fa dedurre quanti autovalori avrà (al massimo o al minimo) una matrice a prescindere da come essa e' fatta?

Ho dato un'occhiata online ma non trovo nulla né tanto meno ricordo una cosa del genere.
Grazie!!

[Shocker]

Ciao,

data una matrice $A \in M(n, \mathbb{K})$ i suoi autovalori sono radici del polinomio caratteristico $p_A(t) = det(A - tI)$ che ha grado $n$, nel migliore dei casi il polinomio ha $n$ radici distinte nel campo $\mathbb{K}$ dei coefficienti della matrice(quindi una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti), nel peggiore dei casi il polinomio non ammette radici nel campo $\mathbb{K}$, in tal caso la matrice non ha autovalori su $\mathbb[K}$(quindi ne ha 0).
Morale: il numero di autovalori di una matrice dipende dal campo dei coefficienti della matrice, una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti ma può anche non averne.
per esempio se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ e $n = 2$ allora:

1) $( (1, 0), (0, 2))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = (t-1)(t-2)$ e quindi ha $2$ autovalori reali distinti.
2) $( (0, 1), (-1, 0))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = t^2 + 1$ che non ha radici reali, dunque la matrice non ha autovalori reali.

[studente-studente]

Grazie mille!

[Shocker]

Nota che se il campo fosse stato $\mathbb{C}$ entrambe le matrici avrebbero avuto autovalori(complessi).
Dunque se il campo è algebricamente chiuso ogni matrice ha almeno un autovalore.

[studente-studente]

La matrice 1) avrebbe sì autovalori complessi ma con parte immaginaria nulla, avrei quelli che hai scritto prima no? Quindi sostanzialmente sarebbero comunque reali

[Shocker]

Sì certo, era per sottolineare l'appartenenza degli autovalori al campo dei coefficienti(che nel primo caso è $\mathbb{R}$ e nel secondo è $\mathbb{C}$)