da Shocker » 17/02/2017, 12:38
Ciao,
data una matrice $A \in M(n, \mathbb{K})$ i suoi autovalori sono radici del polinomio caratteristico $p_A(t) = det(A - tI)$ che ha grado $n$, nel migliore dei casi il polinomio ha $n$ radici distinte nel campo $\mathbb{K}$ dei coefficienti della matrice(quindi una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti), nel peggiore dei casi il polinomio non ammette radici nel campo $\mathbb{K}$, in tal caso la matrice non ha autovalori su $\mathbb[K}$(quindi ne ha 0).
Morale: il numero di autovalori di una matrice dipende dal campo dei coefficienti della matrice, una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti ma può anche non averne.
per esempio se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ e $n = 2$ allora:
1) $( (1, 0), (0, 2))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = (t-1)(t-2)$ e quindi ha $2$ autovalori reali distinti.
2) $( (0, 1), (-1, 0))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = t^2 + 1$ che non ha radici reali, dunque la matrice non ha autovalori reali.