Matrice associata nella base ordinata

[Fuuzz]

Si consideri l’applicazione lineare dipendente da un parametro reale t, F(t): R4 → R4 tale che
F(1,0,0,0) = (-t-1, -2t, -3t, 3t) F(0,1,0,0) = (t+2, 2t+1, t+1, −3t-1) F(0,0,1,0) = (0, 0, 2t-1, 0) F(0,0,0,1) = (1, 1, t+2, 2t-3)
Determinare la matrice At associata a Ft nella base ordinata
B = {v1 = (-1,0,0,0) v2 = (1,1,0,0) v3 = (0,0, -1,0) v4 = (0,0,1,-1)
in partenza e in arrivo.

Ora, io ho provato a procedere come avrei proceduto per l'esercizio analogo in cui al posto della base ordinata ci fosse stata la base canonica, ma dai risultati del compito direi che non era il metodo giusto; come devo procedere invece?

[anto_zoolander]

Tu hai $f(e_1)=w_1,...,f(e_4)=w_4$

Ora hai altri vettori di una base ${v_1,...,v_4}$
Sai che $f$ è lineare... dunque hai tutto.

Ora scrivi i vettori della nuova base come vettori della vecchia base
$v_j=sum_(n=1)^(4)alpha_(j_n)e_n$

Ora calcoli $f(v_j)=sum_(m=1)^(4)alpha_(j_m)v_m$

Tipo $f(1,1,0,0)=f(1,0,0,0)+f(0,1,0,0)=(-t-1,-2t,-3t,3t)+(t+2,2t+1,t+1,-3t-1)$

$f(v_1)=(1,1,-2t+1,-1)=1v_1-2tv_3+1v_4=((1),(0),(2t),(1))$

E così via

[Fuuzz]

Preciso e conciso, ti ringrazio!