Matrice associata ad una Base

[mat100]

Salve

Vorrei chiedervi chiarimenti su un esercizio svolto riguardante la matrice associata ;

Siano dati i vettori v1= (1,-1,1) . v2=(1,0,1) , v3= (1,1,0) e la base A=[v1,v2,v3] di $RR^3$ .
è Assegnata l'applicazione lineare $g:RR^3->RR^3$
Definita da

$((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$

al variare di h€R


Determinare $M^(A)(g) $

___

Calcola le immagini

g(1, −1, 1) =(h, −h, h)
g(1, 0, 1) =(h + 1, −h, h + 1)
g(1, 1, 0) =(1, h, 2).

e fino a qui tutto chiaro ;
poi prosegue con

$[(x,y,z)]_(A) = $ (x − y − z, −x + y + 2z, x − z) <-- è proprio questo passaggio che non ho capito cosa si è fatto

Grazie per gli eventuali chiarimenti

[anto_zoolander]

Quella matrice associata all'applicazione, lo è rispetto alle base che hai scritto?

[mat100]

Quella matrice associata all'applicazione, lo è rispetto alle base che hai scritto?

mi pare rispetto alla base canonica di $RR^3 $

[mat100]

ok, ho risolto in una maniera diversa;


calcolo semplicemente i vettori immagini rispetto alla nuova base

Esempio colonna 1


$(h,-h,h) = x( 1,-1,1)+y(1,0,1)+z(1,1,0)$

risolvo il sistema associato e trovo il vettore colonna [h,0,0]


tuttavia non arrivo a capire da dove viene [(x, y, z)]A = (x − y − z, −x + y + 2z, x − z)

[anto_zoolander]

Ci ho ragionato un po'.
Sicuramente deve essere la matrice associata rispetto alla base canonica, sennò calcolare $Av$ e $g(v)$ con $A$ rispetto ad un'altra base, in generale non darebbe lo stesso risultato

Per calcolare le immagini ha praticamente usato $RR^3congM_(3,1)(RR)$

Ora io ho calcolato, posto $B_1={(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,0)}$

$g(e_1)=he_1$
$g(e_2)=he_1+e_2$
$g(e_3)=-(h+1)e_1+(h+3)e_2-e_3$

da cui si trova la matrice $B=((h,h,-h-1),(0,1,h+3),(0,0,-1))$

Se non prendo un palo a 100km/h, questa dovrebbe rappresentare $g$ rispetto alla base $B_1$
Bisognerebbe mostrare che $A,B$ siano simili per concludere che rappresentano la medesima applicazione lineare

La matrice rispetto alla base canonica è $A=((0,1,h+1),(h,0,-2h),(1,1,h))$

Ora sicuramente qualche condizione necessaria è soddisfatta:
Al variare di $h$ hanno lo stesso rango
Hanno lo stesso determinante $det(A)=det(B)=-h$
Forse anche lo stesso polinomio caratteristico.

Riguardo all'ultima cosa
Non capisco cosa intenda per $[(x,y,z)]_A$. Più che altro la notazione

Edit:
Ho calcolato $P_A(lambda),P_B(lambda)$ e coincidono, dunque dovrebbero essere simili, però andrebbe visto se sono diagonalizzabili. Per $hne1,-1$ sono diagonalizzabili quindi sono simili e rappresentano la stessa applicazione lineare ciascuna delle matrici rispetto alle proprie basi. Dunque $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B_1$ sicuramente per $hne1,-1$

[mat100]

Grazie Anto ;
molto chiaro, se posso chiedo alla prof il significato di quello specifico passaggio ;
Su tutto il resto mi trovo

[anto_zoolander]

Poi magari fammi sapere che sono curioso

[mat100]

Poi magari fammi sapere che sono curioso

Anto non mi sono dimenticato

Semplicemente la Prof è Fuori e torna fine marzo ^^!

tra l'altro essendo io fuoriSede , penso che questo dubbio resterà per un po' su foglio !


ci aggiorniamo ;D