Matrice associata ad un'applicazione lineare

[Tork78]

Buongiorno, ho questo problema che non riesco a risolvere:
"Sia dato lo spazio vettoriale $ R^3 $ . Provare che i vettori $ v1 = (1,-1,2), v2=(-1,1,0), v3=(1,1,1) $ formano una base B di $ R^3 $ . Dato l'endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ tale che $ f(v1) = (1,0,1), f(v2)=(1,1,0), f(v3)=(1,2,1) $ determinare la matrice $ Mf^(B,B) $ e le componenti del vettore $ f(V) $ con $ V = (-1,2,1) $ su base B".

Per prima cosa ho dimostrato che i tre vettori formano una base tramite il calcolo del determinante. Ora ho un problema con la formazione della matrice associata alla funzione; non ho proprio capito come fare. Naturalmente questo mi blocca anche nel calcolo del vettore f(v), per il quale devo usare proprio la matrice. Mi sapreste aiutare? Sono interessato più allo svolgimento che ai calcoli.

Grazie

[feddy]

Hai già le immagini dei tuoi vettori mediante $f$. Solo che questi sono espressi rispetto alla base canonica. Per la richiesta dell'esercizio tu devi esprimerli rispetto alla base $B$.

Tutto quello che devi fare è scrivere le immagini rispetto alla base $B$.
Così facendo potrai costruire la tua matrice associata rispetto alla base $B$ su dominio e codominio e la richiesta $f(V)$ altro non sarà che svolgere il prodotto matrice-vettore $M*V$, dove con $M$ intendo appunto la matrice associata a tale applicazione.
Infatti, la matrice associata ad un'applicazione lineare ha la proprietà di identificare l'applicazione e per ricavare "la definizione" della tua applicazione (cioè un'espressione del tipo $f(x,y,z)=[x-y,z-x,x+z]$) è sufficiente moltiplicare la matrice per il generico vettore $[x,y,z]^T$.
Spero di essere stato chiaro.

[Tork78]

Allora ho capito la tua risposta dal punto di vista di che cosa devo fare, ma non ho capito il perchè. Non riesco a capire perché esprimendo le immagini dei vettori della base B rispetto alla base B e mettendoli in una matrice in colonna ottengo direttamente la matrice associata alla mia funzione. Forse mi sembra troppo semplice

Per quanto riguarda invece il prodotto del vettore per la matrice associata è invece tutto chiaro. Essendo la matrice da B a B e il vettore espresso direttamente rispetto alla base B il risultato sarà l'immagine del vettore nella base B.

Grazie intanto per la prima risposta

[feddy]

E' la stessa cosa che fai quando disponi per colonna le immagini dei vettori della base canonica per trovare la matrice associata, solo che in quel caso è immediato. Sostanzialmente tu stai facendo una trasformazione di coordinate... tutto qui.

La spiegazione "teorica" parte dal fatto che lo spazio delle applicazioni lineari da $RR^m$ a $RR^n$ è isomorfo allo spazio delle matrici $M_{n,m}$. Pertanto una matrice identifica un'applicazione lineare. Poi c'è tutta la teoria del cambio di base, ecc... che dovresti aver fatto

[Tork78]

Ok finalmente ho capito. Ti ringrazio

Solo per chiarezza ti faccio un'altra domanda, perdonami se abuso della tua pazienza!

Se io avessi creato 3 matrici, la prima una matrice identità che va dalla base B di partenza alla base canonica, poi una matrice associata alla funzione solo con le basi canoniche e poi un'altra matrice, inversa alla prima, avrei ottenuto lo stesso risultato?

Per intenderci una cosa del genere (chiaramente è molto più lungo come metodo,ma vorrei capire se i due sono equivalenti):
$ Mid^(B,e) * Mf^(e,e) * Mid^(e,B) $

Se si come creo le prime due matrici? Sono sempre interessato ai passaggi, i numeri te li risparmio

Grazie ancora per la risposta!

[feddy]

Certo, il cambio di base si fa proprio così... Così passi (come vedi dagli inidici delle matrici) da $Brightarrow xirightarrow B$, trovando la matrice riferita all'applicazione $f$ da $B$ a $B$.

La prima: disponendo i vettori della base $B$ per colonna.
La seconda: scrivendo le immagini dei vettori della base canonica.
La terza: è l'inversa della prima (effettua il passaggio inverso).

Per i dettagli consulta un libro di testo.