Aiuto con un endomorfismo

[Paak07]

Salve a tutti sto avendo difficoltà con un esercizio con un endomorfismo. infatti abbiamo questo endomorfismo definito in $R^3$ con la seguente applicazione lineare $f:(a,b,c)=(2a+b-c,0,2a-2c)$. Devo determinare:
1 la matrice associata al sistema;
2 studiare se è diagonalizzabile;
3 e se è diagonalizzabile ricavare la matrice che la diagonalizza.
Allora la matrice sono riuscito a ricavarla sostituendo uno alla vota i vettori unitari e mi trovo la seguente matrice $A=((2,1,-1),(0,0,0),(2,0,-2))$ a questo punto ho iniziato ad evere qualche problema perche mi sono calcolato il polinomio caratteristico per determinarmi gli autovalori quindi mi trovo una matrice di questo tipo $((2-t,1,-1),(0,-t,0),(2,0,-2-t))$ mi trovo il determinante e mi trovo questo il determinante e mi trovo una cosa di questo genere $-t(2-t)(-2-t)-2t$ e non so come procedere perchè non riesco a trovarmi gli autovalori.
Grazie in anticipo per l'aiuto

[feddy]

Sviluppa con Laplace rispetto alla seconda riga... il determinante risulta $t(t^2-2)$. Ora continua tu

[Paak07]

se vado a fare i conti mi viene $t=0$ e $t=+-sqrt(2)$ è possibile una cosa simile?!!

[feddy]

Sì

[Paak07]

Ah io pensavo che gli autovalori dovessero essere numeri interi, a questo punto so procedere grazie mille!!

[feddy]

No no gli autovalori possono essere pure complessi... l'importante è che siano soluzioni del polinomio caratteristico.

[Paak07]

Ma se un autovalore ha la molteplicita algebrica e geometrica che sono uguali a due l'autospazio generato da questo autovalore deve essere generare due autovettori giusto?

[feddy]

Sì. La molteplicità geoemtrica coincide con la dimensione dell'autospazio

[Paak07]

Grazie mille per la disponibilità.

[feddy]

Di nulla.