Gruppo fondamentale

[Alino]

Ciao a tutti! Un esercizio mi chiede di calcolare $pi_1(QQ,0)$. Io direi che il gruppo fondamentale è banale perché non esiste nessun laccio con punto base 0 oltre quello costante, dato che tra due razionali cadono infiniti razionali e infiniti irrazionali. Qualcuno può aiutarmi nel caso fosse sbagliato il ragionamento?

[j18eos]

Il risultato è corretto, però non vorrei sembrarti (troppo) pignolo: perché hai solo il cappio banale?

Per definizione, tu devi considerare le funzioni continue:
\[
\gamma:[0,1]\to\mathbb{Q}\mid\gamma(0)=0=\gamma(1);
\]
ricordato ciò, come giustificheresti la tua affermazione?

[Alino]

Stavo ragionando sulla definizione di funzione continua tra spazi topologici considerando $QQ$ con la topologia indotta da quella euclidea: ho commesso l'errore di considerare i punti di $QQ$ come aperti (cosa che in realtà accade su $ZZ$ ma non su $QQ$ perché l'intersezione di un aperto di $RR$ con $QQ$ non da mai un singolo punto) e perciò il ragionamento portava alla conclusione che la controimmagine di un punto (aperto) fosse un punto in $[0,1]$ (chiuso) e perciò la funzione non era continua. Peccato che il presupposto fosse sbagliato! Non saprei come muovermi: intuitivamente si capisce che non possono esistere funzioni continue non costanti del tipo descritto da te ma non riesco a formalizzarlo.

[j18eos]

Mi permetto di darti un indizio molto criptico: l'omotopìa collabora molto bene con quale proprietà topologica?

[Alino]

La connessione per archi? Quindi dato che $I$ è connesso per archi e $QQ$ no concludo che l'unica funzione continua del tipo descritto sopra è quella costante?

[j18eos]

Esattamente!