Sia un sistema di equazioni lineari omogenee nel corpo $K$, con $n $ incognite.
Dimostrare che l'insieme delle soluzioni $ X= < x1,...,xn> $ è uno spazio vettoriale sul corpo $K$
anto_zoolander ha scritto:Sicura che sia corpo e non campo?
Lavinia Volpe ha scritto:devo dimostrare che
- il vettore nullo è una soluzione (cioè un xi ) di $ x1 A1 + x2 A2 +...+ xn An = 0 $ (ho scritto aii come vettori colonna)
- la somma di due vettori soluzioni del sistema è ancora un vettore soluzione
- moltiplicando un vettore soluzione per uno scalare ottieni ancora un vettore soluzione
La prima penso sia facilmente dimostrabile: se per esempio tutte le $x$ sono $0$, allora il termine noto sarà $0 $
Non riesco a capire come siano sempre possibili le altre due condizioni... cioè cosa assicura che una $x$ possa assumere un valore qualsiasi?
Cioè io pensavo a X come spazio vettoriale costituito da n elementi x1,...,xn.
cioè tu mi stai dicendo che devo sommare a un xi che fa parte di una combinazione tale che il sistema sia di equazioni omogenee, un xi che faccia parte non della stessa combinazione, ma di un'altra sempre fatta in modo che il sistema sia costituito da equazioni che abbiano gli stessi vettori $A1,...,An$ e che siano omogenee. O magari la combinazione è unica, quello è solo il modo di dimostrarlo. noto che sommo sempre $x1$ con $x1$ e non per esempio$ x1$ con $ x2$
A meno che per $ X $ isieme di soluzioni non si intendano tutti i possibili set
Shocker ha scritto:
Chiariamo prima questi punti:
1)Cosa sono $A_1, ..., A_n$? Sono vettori?
2)Cosa sono $x_1, ..., x_n$? Sono vettori o sono scalari?
3)Cosa intendi per $X$?
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