equazioni lineari

[Shocker]

Ok, perfetto.

Allora tu hai la seguente equazione vettoriale: $x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0$, con $x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}$ e $A_1, ..., A_n$ vettori colonna, devi dimostrare che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K^n}$.

Sia $W = {(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{K^n} | x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0}$ l'insieme delle soluzioni dell'equazione, osserva che la $n-$upla $(0, ..., 0)$ è soluzione dell'equazione e dunque il vettore nullo di $\mathbb{K^n}$ appartiene a $W$, adesso considera $x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{W}$, per dimostrare che $x+y \in W$(cioè è una soluzione) basta sostituire tutto nell'equazione: $(x_1 + y_1)A_1 + ... + (x_n + y_n)A_n = 0$ da cui $(x_1A_1 + ... + x_nAn) + (y_1A_1 + ... +y_nAn) = 0$. Idem per $\lambda*x$ con $\lambda in \mathbb{K}$ e $x in W$.

Chiaramente dato che $W$ è un sottospazio di $\mathbb{K^n}$ allora è anche uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.

Chiaro?

[Lavinia Volpe]

grazie!!
Credo mi chiedessi:


Se $A1, .., An$ fossero linearmente indipendenti, la $n-upla 0,..,0$ sarebbe l'unica soluzione dell'equazione
E poi ho forse un altro dubbio ancora
Nono, capito!