Interpratazione geometrica dei vettori della fisica

Messaggioda definitivamente1 » 17/03/2017, 00:38

Prima parte.
Una delle cose che non mi torna è la relazione tra le curve in analisi e le traiettorie in fisica: In analisi il vettore velocità era definito come la derivata del vettore posizione, ed erano vettori dello spazio vettoriale Rn. Io li interpretavo come componenti di un vettore in coordinate cartesiane, ma a pensarci bene ciò non è necessario. Sono semplicemente elementi di R3. L'interpretazione "fisica" potrebbe anche essere diversa, e l'analisi matematica di quegli elementi di R3 la stessa. Per esempio x(t), y(t), z(t) potevano anche essere interpretate come coordinate sferiche di una curva nello spazio. Lo stesso vettore di R3 in funzione del tempo, così interpretato, descrive nello spazio fisico ovviamente tutt'altra cosa che la sua intepretazione come componenti di un vettore cartesiano. Ma la trattazione matematica non cambia.
E' giusto anche solo in parte ciò?

Seconda parte.
In fisica il vettore posizione (raggio vettore) è un vettore geometrico nello spazio, e così il vettore velocità e il vettore accelerazione. Data una traiettoria nello spazio tridimensionale, a me pare che il vettore posizione deve essere di "natura" diversa dai vettori velocità e accelerazione, in quanto esso dipende dalla scelta del punto O, origine del sistema di riferiemento R(O,i,j,k). Viceversa il vettore velocità e accelerazione non dipendono dalla scelta di O, in quanto derivano dal vettore spostamento ( r(t)-r(0) ). Non parlo delle loro componenti, ma del vettore in sé. Sul libro Mazzoldi Nigro Voci in appendice si dice che le leggi fisiche vettoriali non dipendono dalla scelta di un riferimento, e un vettore (come per una grandezza scalare quale il prodotto scalre p. es.) non dipende dalla scelta di un riferimento. Sono le sue componenti sulla base del riferimento che dipendono dal riferimento. A me questa invarianza non è chiarissima. Il vettore posizione dipende dalla scelta del riferimento, in particolare da O del riferiemento. Quindi il vettore posizione, che vettore è? E' di diversa natura da v e a? Osservo che il vettore spostamento invece, non dipende dalla scelta di O del riferimento. Ed è infatti a partire da quello che si calcolano i vettori v e a.
Il vettore pososizione r(t) invece non è invariante per traslazioni del sistema di riferimento, il suo madulo, la sua direzione, tutto dipende da O.

Mi sono fatto l'ipotesi che r sia un vettore 'ausiliario', che non può comparire in leggi fisiche come i vettori v e a, proprio perché non è invariante per rototraslazioni del sistema di rif. R(O,i,j). E che r sia solo un'ausilio per raggiundere il punto P(t), e che siano i punti dello spazio affine che descrivono la traiettoria, e in effetti O(t)+r(t)=P(t), viceversa i vettori velocità e accelerazioni sono i vettori liberi invarianti di cui parla l'invarianza delle leggi di cui si parla. Può mettere ordine in questa confusione? Cosa si intende precisamente per invarianza?

Altri dubbi: i vettori velocità e accelerazione, forza, sono liberi o applicati? A me sembrano liberi, anche perché sono i vettori liberi che trattiamo sembra in matematica; tuttavia in fisica per calcolare i momenti angolare e torcente, sono usati come applicati. Sono molto confuso.
definitivamente1
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