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Buongiorno, premetto che non so se dove sto scrivendo è la categoria giusta.
Sono al Terzo anno di Matematica all' Univerisità e dovrei preparare una tesi di laurea triennale ma ciò che mi manca è un argomento.
Quello che mi appassiona é l'Algebra e la Topologia, cosi quando sono andato a chiedere la Tesi al mio Professore di Geometria B lui mi ha proposto come argomento di tesina i gruppi di omotopia superiori.
Ho cominciato a studiare l'argomento e mi piaceva ma ora sto cominciando a pensare che non sia adatta sopratutto perchè anche solo per arrivare ai gruppi di omotopia superiori occorrono troppe consocenze preliminari (considerate che da poco ho cominciato il corso di Istituzioni di Geometria Superiore 1 dove si introduce il Gruppo Fondamentale e quindi tutte queste cose ho dovuto studiarmele da solo ).
Volevo chiedervi se potevate indicarmi qualche argomento di Tesi interessante soprattutto su topologia da proporre al mio Professore (ad esempio lemma di Urysohn o teorema di estensione di Tietze oppure teorema della curva di Jordan ) o in generale un argomento riguardo la Topologia Algebrica.
Grazie in Anticipo per i consigli , Saluti Federico.

Alcuni argomenti di topologia algebrica elementare, che si riescono a presentare con relativamente poca fatica*:
- l'unicità dell'omologia singolare rispetto agli assiomi di Eilenberg-Steenrod
- la fibrazione di Hopf tra sfere
- la teoria di Galois dei rivestimenti e il collegamento con quella dei campi scritto bene (?)
- proprietà degli spazi di Eilenberg-Mac Lane $K(G,1)$

* ovviamente °devo laurearmi tra venti giorni" preclude qualsiasi possibilità

CIa0, benvenuto!

Se ti consola, io per motivi di ricerca in due giorni sono dovuto passare dal gruppo fondamentale (di cui conosco per bene la definizione, e per conoscenza i suoi collegamenti col rivestimento universale) allo schema gruppo fondamentale di Higgs (oggetto definito il 25/VII/2016), transitando per il gruppo fondamentale étale e lo schema gruppo fondamentale...

Cosa voglio dire?

Che se mi mettessi a studiare ab imis fundamentia tutti questi oggetti, col cavolo che riesco ad andare avanti con la ricerca nei prossimi mesi; quindi mi sono limitato a studiare le definizioni, che teoricamente mi permettono di svolgere i calcoli; e sono pienamente consapevole che al momento opportuno consulterò i libri alla ricerca di proprietà che possano aiutarmi a svolgere i calcoli con più facilità.

Nel tuo caso: è facile capire chi sono i \(\displaystyle\pi_n(X,x)\), con \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}_{\geq0}\), \(\displaystyle X\) spazio topologico e \(\displaystyle x\in X\); dare le definizioni di spazio connesso per \(\displaystyle n\)-cammini e semplicemente \(\displaystyle n\)-connesso.

Queste ti basteranno!, poi domanda al (potenziale) relatore cosa dovresti approfondire: i rivestimenti, l'abelianizzazione di \(\displaystyle\pi_1(X,x)\), i gruppi di co-omotopia, i fibrati vettoriali topologici, il problema delle estensioni delle funzioni continue, altro...

Spero di esserti stato utile.

P.S.: @killing_buddha Tranquillo, non mi sono dimenticato di te!

Ciao ragazzi, grazie mille per le risposte e scusate se mi faccio sentire solo adesso.
Sono riuscito a laurearmi a Luglio e alla fine ho portato come tesi di laurea le rappresentazioni di gruppi, in particolar modo quelle del gruppo delle rotazioni SO(3,R). Io ed il mio relatore abbiamo optato per questa scelta dato che gli argomenti precedenti non sembravano portare in un tempo fattibile a risultati abbastanza importanti che potessero rappresentare il nucleo fondante la tesi. Sciaooooo

Well done!