Equivalenza tra definizioni del rango di una matrice.

[leonardo_mutti]

Salve, conosco le seguenti definizioni di rango di una matrice:
1) È il numero di pivot della ridotta a scala (nonchè il numero di righe non nulle della ridotta a scala)
2) È il numero di righe indipendenti della matrice
3) È e l’ordine massimo di un minore della matrice avente determinante non nullo

Come posso far discendere la 2) e la 3) dalla 1)?
Grazie mille in anticipo!

[Pappappero]

La risposta dipende un po' dal background che hai. In un corso base di algebra lineare direi che uno puo' procedere cosi':

Operazioni di riga non cambiano lo span delle righe. Perche? Come si puo' dedurre che (1) e (2) sono equivalenti usando questo fatto?

L'equivalenza tra (1) (o (2)) e (3) non e' proprio proprio elementare. Un paio di suggerimenti:
- per la multilinearita' e alternanza del determinante, una matrice quadrata ha determinante non nullo se e solo se le sue righe sono indipendenti (e se e solo se le sue colonne sono indipendenti).
- usando questo fatto, osserviamo che se un minore $r \times r$ e' non nullo, allora ci sono almeno $r$ righe della matrice che sono non nulle (ad esempio quelle su cui abbiamo preso il minore). Viceversa, se ci sono $r$ righe delle matrice indipendenti, allora possiamo prendere $r$ colonne tali che il corrispondente minore $r \times r$ e' non nullo.

(Io uso "minore" per indicare il determinante della sottomatrice)