algoritmo di gauss

[Lavinia Volpe]

perché se applicando 'algoritmo di gauss ottengo una riga della matrice con tutti zero, significa che quella riga è combinazione lineare delle altre (soprastanti)?

INOLTRE devono esserci tutti 1 sulla diagonale della matrice ampliata o non ampliata?

[Lavinia Volpe]

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cosa significa l'ultima riga? coefficienti??? che dovrei fare?

[axpgn]

Prendi la prima equazione e la moltiplichi per $5/6$, prendi la seconda e la moltiplichi per $-11/6$, prendi la terza e la moltiplichi per $19/6$; sommi membro a membro queste tre ed otterrai la quarta.

[Lavinia Volpe]

Quindi sarebbe più corretto dire che la quarta equazione è uguale a una combinazione lineare della somma delle tre equazioni soprastanti. cioè $(3x−z−8)a+(2x−y+4z−10)b+(x+y+z−4)c=(2x+5y−5z−1)$
quindi per trovare i coefficienti a,b,c bisogna risolvere il sistema di 3 equazioni:
$9a+6b+3c=2$
$1a+4b+1c=-5$
$-8a-10b-4c=-1$

[axpgn]

Cosa intendi per "sistema di 4 equazioni" ?

[Lavinia Volpe]

quello che ho scritto su, di 3, ho corretto

[axpgn]

Hai detto giustamente che la quarta equazione è combinazione lineare della altre tre ovvero $ (3x−z)a+(2x−y+4z)b+(x+y+z)c=(2x+5y−5z) $

Sviluppiamo l'equazione e concentriamoci sui monomi contenenti la $x$; affinché sia vera deve essere $3x*a+2x*b+1x*c=2x$ e cioè semplificando la $x$, abbiamo $3a+2b+1c=2$. Facciamo lo stesso per la $y$ e la $z$ ed abbiamo queste due altre equazioni $0*a-1*b+1*c=5$ e $-1*a+4*b+1*c=-5$ ... queste sono le tre equazioni da risolvere per trovare $a, b, c$ che rendono la quarta una combinazione lineare delle prime tre.

[Lavinia Volpe]

io non ho semplificato x,y e z e ho considerato i termini noti (non capisco perché non sia necessario considerarli). quindi verrebbero 4 equazioni
però y=0, perciò ne vengono 3.

[axpgn]

Non vanno considerati perché la quarta equazione deve essere combinazione della altre tre sempre, indipendentemente dai valori di $x, y, z$ e se introduci anche i termini noti l'uguaglianza l'avrai (se l'avrai) solo per particolari valori di $x, y, z$.
La semplificazione della $x$ è ovvia (basta raccoglierla ...), d'altra parte come detto la dipendenza o indipendenza lineare deve prescindere dai valori delle incognite ... se vuoi convincertene pensa al fatto che in algebra lineare si parte dai sistemi di equazioni (con incognite) ma la "sostanza" dell'argomento riguarda le matrici (e spazi vettoriali) dove le incognite NON ci sono ...

[Lavinia Volpe]

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Ma qui dice che nel caso la riga sia tutta nulla, tutta l'equazione dev'essere combinazione lineare
a me sembra che come fai tu verifico solo che il primo membro dell'equazione è combinazione lineare dei primi membri delle soprastanti
Non considerando i termini noti, capisco che si possano semplificare x, y, e z

e l'uguaglianza comunque non mi viene