Vettori linearmente dipendenti. Quali sono quelli indipendenti fra loro?

[Bertucciamaldestra]

Buonasera!
Su un altro sito davano questo esempio per spiegare come trovare quali vettori sono fra loro indipendenti sapendo che almeno due sono dipendenti.
I vettori sono messi per colonne sotto forma di matrice:
$u= (2,-1,1), v=(3,1,2), w=(1,-3,0)$

Con il sistema ho visto che ad esempio gli scalari $(-2,1,1)$ annullano la combinazione lineare della definizione di vettori linearmente indipendenti, perciò so che sono dipendenti. Inoltre il determinante è 0.
Il problema è che dopo dice che avendo tutti i minori di ordine due il determinante non nullo, i vettori sono linearmente indipendenti fra loro... perciò sono molto confusa.
Da un'altra parte ho letto che basta ridurre a scala e vedere quali colonne hanno i pivot, e quelle colonne saranno gli indipendenti, ma io non so ridurla a scala questa matrice perchè mi vengono delle frazioni.
Grazie

[axpgn]

Basta usare Gauss che va sempre bene ...

Se hai ridotto la matrice di partenza in una matrice a scalini, sei a posto ... non ti spaventare se i pivot non sono unitari, basta dividere la riga per quel numero che fa da pivot e diventano unitari ... le colonne pivot sono indipendenti ...

[Bertucciamaldestra]

Basta usare Gauss che va sempre bene ...

Se hai ridotto la matrice di partenza in una matrice a scalini, sei a posto ... non ti spaventare se i pivot non sono unitari, basta dividere la riga per quel numero che fa da pivot e diventano unitari ... le colonne pivot sono indipendenti ...

Grazie per essermi venuto in aiuto axpgn!! Il problema è che non mi sono mai trovata una matrice del genere, se provo a ridurla mi viene:
$ ((2,3,1),(1,-1,-3),(1,2,0)) =⇒ ((2,3,1),(0,5/2,-7/2),(0,0,3))$ ho cambiato le righe seguendo la regola (riga da cambiare) - [(numero che voglio annullare/pivot)(riga dove c'è il pivot)] ma alla fine mi trovo 3 pivot... sicuramente c'è qualche altro passaggio che non conosco e che mi manca per ottenere la matrice giusta

[axpgn]

Se quella è la matrice da ridurre non mi pare che corrisponda ai tre vettori iniziali, c'è un segno diverso ...

[Bertucciamaldestra]

Se quella è la matrice da ridurre non mi pare che corrisponda ai tre vettori iniziali, c'è un segno diverso ...

Sì scusami tanto, errore di distrazione comunque ho rifatto i calcoli ma il problema persiste
$((2,3,1), (-1,1,-3),(1,2,0)),
r_(2) = (-1, 1, -3) + 1/2 (2,3,1)= (0, 5/2, -7/2)$

$((2,3,1),(0, 5/2, -7/2),(1,2,0)),
r_(3) = (1,2,0,) - 1/2(2,3,1) = (0, 1/2, -1/2)$

$((2,3,1),(0, 5/2, -7/2),(0, 1/2, -1/2)),

r_(3)= (0, 1/2, -1/2) -1/5 (0, 5/2, -7/2) = (0,0, 1/5)$

$((2,3,1),(0, 5/2, -7/2),(0, 0, 1/5))$
Grazie per la pazienza!!

[axpgn]

Perché complicarsi la vita ?

$((2,3,1), (-1,1,-3),(1,2,0))$

Scambio la prima con l'ultima ...

$((1,2,0), (-1,1,-3),(2,3,1))$

Sommo la prima alla seconda e sostituisco quest'ultima, moltiplico la prima per $-2$ e la sommo alla terza ...

$((1,2,0), (0,3,-3),(0,-1,1))$

Divido la seconda per $3$ ...

$((1,2,0), (0,1,-1),(0,-1,1))$

Sommo la seconda alla terza e sostituisco quest'ultima ...

$((1,2,0), (0,1,-1),(0,0,0))$

Finito.

EDIT: comunque hai fatto un errore nei calcoli ...

[Bertucciamaldestra]

Perché complicarsi la vita ?

$((2,3,1), (-1,1,-3),(1,2,0))$

Scambio la prima con l'ultima ...

$((1,2,0), (-1,1,-3),(2,3,1))$

Sommo la prima alla seconda e sostituisco quest'ultima, moltiplico la prima per $-2$ e la sommo alla terza ...

$((1,2,0), (0,3,-3),(0,-1,1))$

Divido la seconda per $3$ ...

$((1,2,0), (0,1,-1),(0,-1,1))$

Sommo la seconda alla terza e sostituisco quest'ultima ...

$((1,2,0), (0,1,-1),(0,0,0))$

Finito.

EDIT: comunque hai fatto un errore nei calcoli ...

Ah ok, gli esercizi che ho visto io fin'ora si risolvevano semplicemente con quella formula lì, probabilmente erano mirati. Grazie mille sei stato preziosissimo!!

[axpgn]

Ma anch'io ho usato le cosiddette "mosse di Gauss" come hai fatto tu, solo in modo meno formale e soprattutto più comodo ...
Non hai fatto errori concettuali ma proprio un errore di calcolo ... rivedili ...