Calcolo vettore avendo piano giacenza ed angoli piani

[Matteo Cacciola]

Salve. Dati due vettori $u$, $v$, considerando il piano $\Pi$ da essi individuato e passante per l'origine di $R^3$, devo ritrovare un vettore $w$ tale che:
1. Giaccia su $\Pi$
2. L'angolo su $\Pi$ fra $u$ e $w$ sia noto e pari ad $\alpha$
3. L'angolo su $\Pi$ fra $v$ e $w$ sia noto e pari a $\beta$
Come fare?

[ciampax]

Se giace sul piano generato dai vettori $u,v$, allora è una loro combinazione lineare. Per Le condizioni sugli angoli si usa il prodotto scalare (con la definizione del coseno di un angolo tra due vettori).

[Matteo Cacciola]

Grazie per la risposta. Mi sono scordato, precedentemente, di indicare che, per l'applicazione particolare in cui mi trovo, tutti i vettori, sia $u$ che $v$ che $w$, hanno punto d'applicazione nell'origine degli assi cartesiani. Inoltre, il mio problema esiste in $R^3$. Dalla risposta, ho pensato che, se $u$ e $v$ sono linearmente indipendenti, posso risolvere un sistema di 3 equazioni in tre incognite, grazie al quale ritrovare le tre componenti di $w$:
$\{(u \cdot w = \cos(\alpha)),(v \cdot w = \cos(\beta)),(n_1x + n_2y + n_3z = 0):}$
dove $x, y, z$ sono le componenti del vettore incognito, mentre $n = u \times v -= (n_1, n_2, n_3)$.

Se $u$ e $v$ sono, invece, linearmente dipendenti, allora essi sono coincidenti per l'applicazione particolare in cui mi trovo. In questo caso le cose si complicano e non riesco ad immaginare come fare. So che $u -= v$ e quindi $\alpha -= \beta$. Se considero un nuovo sistema di riferimento $0-u-y'-z'$, faccio per semplicità giacere $w'$ sul piano $uy' => w' = (\cos(\alpha), \sin(\alpha), 0)$. In più, $z' = u \times w'$. Ora, come faccio a riportare $w'$ nelle coordinate cartesiane del sistema originario $0-x-y-z$, conoscendo l'angolo $\phi$ fra $u$ ed il piano $xy$ (elevazione), nonchè l'angolo $\theta$ fra l'asse $x$ e la proiezione di $u$ sul piano $xy$ (azimuth)?

[ciampax]

Dati due vettori $u$, $v$, considerando il piano $\Pi$ da essi individuato

Se generano il piano, come possono essere linearmente dipendenti? Comunque le prime due equazioni sono un po' più complicate:
$$u\cdot w=\|u\|\cdot\|w\|\cdot\cos\alpha,\qquad v\cdot w=\|v\|\cdot\|w\|\cdot\cos\beta$$
Quello che dicevo io è che, visto che $w$ appartiene al piano, deve avere la forma $w=au+bv$...

[Matteo Cacciola]

Se generano il piano, come possono essere linearmente dipendenti? Comunque le prime due equazioni sono un po' più complicate:
$$u\cdot w=\|u\|\cdot\|w\|\cdot\cos\alpha,\qquad v\cdot w=\|v\|\cdot\|w\|\cdot\cos\beta$$
Quello che dicevo io è che, visto che $w$ appartiene al piano, deve avere la forma $w=au+bv$...

$u$ e $v$ hanno norma unitaria. Ok per la formula $w=au+bv$, ma comunque devo univocamente determinare la coppia $(a,b) \in R^2$. Se ci fai caso, avrei 5 incognite (3 componenti di $w$ più $(a,b)$). Col mio sistema presentato precedentemente ho 3 equazioni in 3 incognite (le 3 componenti di $w$).

Il problema permane per me irrisolto quando $u -= v$. In questo caso, ovviamente, $u$ e $v$ non possono generare alcun piano $\Pi$. Peró posso effettuare nuove considerazioni. Mi spiego meglio. Ti prego di seguire attentamente il mio ragionamento.
Posso determinare, come scrivevo all'inizio, l'angolo $\alpha -= \beta$ fra $u -= v$ e $w$. Allora ho pensato: considero un nuovo sistema di riferimento $0−u−y'−z'$, faccio per semplicità giacere $w'$ sul piano $uy' => w'=(\cos(\alpha),\sin(\alpha),0)$. In più, come è ovvio, $z'=u \times w'$. Ora, come faccio a riportare $w'$ nelle coordinate cartesiane del sistema originario $0−x−y−z$? Rispetto al mio messaggio precedente, però, lascia perdere le mie considerazioni sugli angoli di precessione $\phi$, nutazione $\delta$ e rotazione propria $\psi$: erravo nel leggere il grafico degli angoli di Eulero. Il mio problema, peró, rimane irrisolto: come fare se $u -= v$?

[Matteo Cacciola]

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[Matteo Cacciola]

Nessuno che mi aiuta?