Soluzioni sistema lineare Ax = b

Messaggioda abaco90 » 17/04/2017, 18:13

Ciao,

ho questo quesito: Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b ammette soluzione. In tali casi determinare le soluzioni.

Matrice $ A $ =

\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2t+1
\end{pmatrix}

Matrice $ b $ =

\begin{pmatrix}
2\\
1 \\
5
\end{pmatrix}

La soluzione trova il determinante della matrice $A$, determinando poi per quali valori di $ t $ è diverso da 0; svolgendo i calcoli viene $ det (A) $ diverso da $ -1/2 $, quindi una sola soluzione.

Io so che un sistema lineare ammette soluzioni quando è determinato, cioè il determinante della matrice è diverso da 0, ma non capisco perchè si limita a determinare per quali valori di $ t $ è il determinante è diverso da 0;
perchè lavoro solo su $ A $? Di $b$ che ne faccio? Niente?
abaco90
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Re: Soluzioni sistema lineare Ax = b

Messaggioda feddy » 17/04/2017, 20:02

Per Rouchè-Capelli, $Ax=b$ ammette soluzione se e solo se $ r k (A|b) =rk(A)$. In particolare, se la matrice è quadrata di ordine $n$, come prima cosa conviene sempre calcolarne il determinante. Se questo è diverso da $0$, allora il rango è $n$ (cioè massimo) e il sistema ammette soluzione.

Nel caso non sia quadrata io opto per la riduzione a gradini con Gauss, ma molti usano anche il metodo degli orlati. Per una descrizione migliore leggi qui
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