Provo io a risponderti con due esempi!
Considerato il generico intervallo \(\displaystyle I=[a,b]\) e la circonferenza \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) con le relative topologie naturali. Entrambi sono spazi topologici compatti e connessi!
Siano \(\displaystyle X=I\setminus\{x_0\}\) e \(\displaystyle Y=\mathbb{S}^1\setminus\{P_0\}\); facciamo due distinguo sul generico punto \(\displaystyle x_0\):
- se \(\displaystyle x_0\in\{a,b\}\), \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico connesso;
- se \(\displaystyle x_0\in]a,b[\), \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico con due componenti connesse, quali \(\displaystyle[a,x_0[\) e \(\displaystyle]x_0,b]\), e si usa dire che \(\displaystyle x_0\) è un punto di taglio;
in ogni caso \(\displaystyle Y\) è uno spazio topologico connesso!
Il ragionamento corretto (in senso assoluto) è il seguente: se \(\displaystyle\varphi:\mathbb{S}^1\to I\) è un omeomorfismo di spazi topologici, allora \(\displaystyle\varphi(P_0)\in\{a,b\}\) in quanto \(\displaystyle \mathbb{S}^1\setminus\{P_0\}\) è omeomorfo a \(\displaystyle I\setminus\{\varphi(P_0)\}\); ma poiché \(\displaystyle\varphi\) è biettiva e la sua inversa \(\displaystyle\psi=\varphi^{-1}:I\to\mathbb{S}^1\) è un omoeomorfismo, ottieni che per ogni \(\displaystyle x_0\in]a,b[\) , \(\displaystyle I\setminus\{x_0\}\) è omeomorfo a \(\displaystyle\mathbb{S}^1\setminus\{\psi(x_0)\}\) in assurdo con quanto premesso!
Per cui l'omeomorfismo \(\displaystyle\varphi\) non può esistere!
Un altro esempio, consiste nel considerare un cono \(\displaystyle\Gamma\) a base ellittica (per capirci, la superficie quadratica di equazione \(\displaystyle x^2+y^2-z^2=0\)), e un piano (affine) reale \(\displaystyle\pi\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^3\), con le relative topologie indotte.
Ti lascio ripetere lo stesso ragionamento, trovando che il vertice \(\displaystyle V\) di \(\displaystyle\Gamma\) è il suo punto di taglio, mentre \(\displaystyle\pi\) non ha punti di taglio, e quindi non possono essere omeomorfi.
Ancòra, potresti dimostrare che il concetto "punto di taglio" è una
nozione topologica, ovvero, la sua immagine mediante un omeomorfismo è di nuovo un punto di taglio (la così detta
invarianza per omeomorfismi).
P.S.: Indicato con \(\displaystyle\pi_1(\cdot)\) il gruppo fondamentale di \(\displaystyle\cdot\), vedrai che esso è un
dato topologico, ovvero è invariante per omeomorfismi; e che \(\displaystyle\pi_1(\mathbb{S}^1)\cong\mathbb{Z},\,\pi_1(I)\cong\pi_1(\Gamma)\cong\pi_1(\pi)\cong\{0\}\), quindi \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) non è omeomorfo a nessuno dei dati spazi topologici.