Esercizio segnatura

[Samy21]

Salve a tutti,

Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no.

Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$
a) calcolare la segnatura di $phi$;
b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$

Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. Dal momento che non mi interessa calcolare numericamente gli autovalori per sapere la segnatura, applico la regola di Cartesio e ottengo che la prima equazione mi da 1 autovalore positivo e 1 negativo, mentre la 2equazione mi da 2 autovalori negativi. La segnatura è pertanto $(1,3)$.

Per il punto b) ottengo come base ortogonale i vettori $(0,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,2,1,0)$.

Se volete inserisco i passaggi che mi hanno portato a questi vettori.

Grazie a tutti per il futuro aiuto!

[anto_zoolander]

Per $(1,3)$ intendi $(r,p)$?, $(p,r)$?

A me per esempio viene $sign(A)=(4,2)=(r,p)$

[Samy21]

Per $(1,3)$ intendi $(r,p)$?, $(p,r)$?

io intendo (p,n) cioè positivo e negativo.

A me per esempio viene $sign(A)=(4,2)=(r,p)$

non capisco... se il polinomio caratteristico ha grado 4 non vuol dire che ha 4 autovalori?

[anto_zoolander]

Certo.
Io intendo che ha quattro autovalori di cui due positivi

[Samy21]

Calcolando numericamente gli autovalori ottengo che la prima equazione ha due autovalori di cui uno positivo e uno negativo così come la seconda eq. Evidentemente il metodo di Cartesio mi ha portato a malastrada Quindi la segnatura è (2,2), secondo la mia notazione...

Riguardo la base ortogonale cosa ne pensi? Ti sembra giusta?

[anto_zoolander]

Ho trovato la stessa identica base ortogonale. Di fatto se non ricordo male, quei vettori non hanno tutti norma unitaria. Comunque l'ho ottenuta decomponendo $RR^4$ in somma ortogonale proprio di quei vettori.

Anche perché se la segnatura fosse $(4,1)$ avresti che $Det(D)<0$
Sappiamo che esiste una base ortogonale e dunque esiste $P$ invertibile tele che,
$P^tAP=D=> Det|D|=Det(P^tAP)=Det^2(P)Det(A)$

Passando ai segni si ha che $sign(Det(A))=sign(Det(D))$

E se controlli hai $Det(A)>0$

[Samy21]

E se controlli hai $Det(A)>0$

Si, ottengo $det(A)=4$.

Grazie mille!

[Samy21]

Salve,

Volevo chiedervi se questo esercizio sulla segnatura è corretto.

Sia $\phi_k : RR^4 xx RR^4 to RR$ applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata

$B_k=((1,k,0,0),(k,1,0,0),(0,0,k,-k),(0,0,-k,1))$.
Calcolare la segnatura di $\phi_k$ al variare di $k in RR$.

Applico il metodo dei minori principali e ottengo
$D_1=1$
$D_2= 1-k^2$
$D_3= k(1-k^2)$
$D_4=k(1-k^2)^2$

La matrice $B'_k$ sarà data da

$B'_k=((D_1,0,0,0),(0,D_2/D_1, 0,0),(0,0,D_3/D_2,0),(0,0,0,D_4/D_3))=((1,0,0,0),(0,1-k^2,0,0),(0,0,k,0),(0,0,0,1-k^2))$

Studiando i segni degli elementi nella diagonale ottengo:
-$D_1=1$ quindi è sempre positivo;
-$D_2/D_1=1-k^2$ che sarà positivo per $-1<k<1$;
-$D_3/D_2= k$ che sarà positivo per $k>0$;
-$D_4/D_3=1-k^2$ che sarà positivo per $-1<k<1$.

Riportando i valori in un grafico ottengo le segnature, ossia: [PS: la segnatura il mio prof la vuole espressa come $(p,n)$ dove p sono gli autovalori positivi e n quelli negativi]
- per $k<-1$ la segnatura è $(1,3)$
- per $-1<k<0$ la segnatura è $(3,1)$
- per $0<k<1$ la segnatura è $(4,0)$
- per $k>1$ la segnatura è $(2,2)$

Adesso analizzo il valore della segnatura nei singoli punti trovati, e ottengo:
- per $k=-1$: $(1,0)$;
- per $k=0$: $(3,0)$;
- per $k=1$: $(2,0)$.

E' giusto?
Grazie!