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È una domanda abbastanza breve:
Se ho due spazi vettoriali la cui intersezione su $CC$ è non nulla, considerando i medesimi su $RR$, può capitare che l'Intersezione venga nulla?
In particolare tra uno spazio dato per caratteristica e uno per generatori.

L'intersezione è un concetto insiemistico, non dipende da eventuali sovra-strutture. Quindi no, non può capitare

E allora perché non mi viene Che tristezza

Io ho:

$U_CC={((bi-d,b),(b,d))inM_2(CC):b,dinCC}$

$W_CC=<((i,1),(-1,2i)),((1,i),(-i,0)),((i,-1),(0,-i))>$

su $W_RR$ ovviamente cambia soltanto che la combinazione lineare verrà fatta con scalari reali.

Su $U_RR={((x i-y-z-it,x+iy),(x+iy,z+it))inM_2(CC):x,y,z,tinRR}$

ho sbagliato 8 volte il sistema lineare $vee$ altro.

Adesso stai ponendo una questione diversa.

La domanda che hai posto all'inizio (per come l'ho capita io) è la seguente: se $V$ è un $CC$-spazio vettoriale e $A$ e $B$ sono due $CC$-sottospazi vettoriali di $V$ a intersezione non nulla allora considerati come $RR$-spazi vettoriali l'intersezione è non nulla? Ovviamente sì.

La questione che poni adesso invece è la seguente: se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di un $CC$-spazio vettoriale $V$ e $<A>_{CC} \cap <B>_{CC}$ (l'intersezione dei $CC$-sottospazi generati da $A$ e $B$) è non nullo allora $<A>_{RR} nn <B>_{RR}$ (l'intersezione degli $RR$-sottospazi generati da $A$ e $B$) è non nulla? La risposta è: in generale no. Pensa per esempio a $CC$ come spazio vettoriale su $CC$ e ai due elementi $1$ e $i$. Chiaro che $<1>_{CC} = <i>_{CC} = CC$ quindi l'intersezione di questi due è uguale a $CC$ (quindi è non nulla) mentre invece $<1>_{RR} = RR$ e $<i>_{RR} = iRR$ e l'intersezione $RR nn iRR$ è nulla.

Ah mi sono espresso male.

Lo 'spazio di partenza' è sempre un $CC$-spazio.
In particolare è $M_2(CC)$
$W,U$ li considero sempre $CC-sottospazi.

Non hai sbagliato il sistema lineare, come ho detto sopra stai prendendo insiemi diversi quindi l'intersezione può cambiare.