Domande teoria di algebra lineare

[lcdatti]

Salve,
Mi sfugge qualcosa e non riesco a comprendere queste affermazioni:

Dato una spazio vettoriale V, sia W un suo sottospazio

W=span{w1,..,wk}
B={v1,...vn} base di W

posso scrivere ogni elemento di W come combinazione lineare degli elementi della base B.
Dalle combinazioni lineari estrapolo i coefficienti ed ottengo la matrice dei coefficienti "A".

I miei dubbi sono i seguenti:

Le righe della matrice ridotta sono Linearmente indipendenti. Perché? Quale teorema me lo assicura??

La seconda domanda è più una conseguenza dell'affermazione di sopra: Dim(W)=rango(A)?


Vi ringrazio in anticipo.
Buon proseguimento.

[anto_zoolander]

Beh hai uno $Span$ di vettori che generano uno spazio e una base dello spazio stesso.

Prendiamo $DimV=n$ e $B_V={v_1,...,v_n}$
E anche $Span(w_1,...,w_m)$
È noto che deve essere $mgeqn$.

Poiché lo $Span$ genera tutto lo spazio, allora ogni vettore dello spazio e quindi della sua base, possono scriversi come combinazione lineare dei vettori dello $Span$

$v_j=sum_(k=1)^(m)a_(jk)w_k,forallj=1,...,n$

Ora prendo la matrice $((a_11,a_21,...,a_(n1)),(a_12,a_22,...,a_(n1)),( : , : ,...,: ),(a_(1m),a_(2m),...,a_(nm)))$
Dove le colonne sono le componenti dei vettori rispetto allo $Span$

Supponiamo per assurdo che le colonne siano linearmente dipendenti.

Dunque $exists lambda_1,...,lambda_n inK:lambda_1A^1+...+lambda_nA^n=0$ per qualche $lambda_kne0$
Ma $A^j=sum_(k=1)^(m)a_(jk)w_k=v_j$
Dunque avremmo che $lambda_1v_1+...+lambda_nv_n=0$ per qualche $lambda_kne0$
E questo è assurdo poiché $v_1,..,v_n$ sono vettori dicuna base e quindi linearmente indipendenti.

Dunque gli scalari sono tutti nulli e in particolare le colonne sono tutte linearmente indipendenti.

Inoltre $r(A)=r_c(A)=DimCol(A)=dimSpan(A^1,...,A^n)=dimSpan(v_1,...,v_n)=n$
Dunque $r(A)=n=dimW$

È noto che deve essere $mgeqn$.

Di fatto $n=r(A)leqmin{n,m}=>nleqmin{n,m}$,
In particolare $nleqm$

Se saltasse il fatto che sappiamo che $r_c(A)=r_r(A)$ potremmo dimostrare lo stesso questa cosa, stringendo un po' quello che chiedi ovvero semplicemente che $r_c(A)=n=dimW$

Però potremmo dire che i vettori della base sono un sistema massimale di generatori di $W$ tale che tolto un vettore, essi non generano più $W$ dunque se avessi $w_m$ con $m<n$ vettori non potrebbero generare $W$ e quello $Span$ al più genererebbe un sottospazio proprio di $W$, quindi deve essere $mgeqn$
Questo potresti dimostrarle effettuando proprio $m$ scambi in questo modo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

supponiamo che prendendo $m<n$ si abbia $span(w_1,...,w_m)=W$
Ora ogni vettore della base si può scrivere come combinazione lineare di essi, e viceversa.
quindi possiamo effettuare almeno $m$ scambi in questo modo:
$v_1=lambda_1w_1+...+lambda_mw_m$
Supponi che esista almeno un certo $lambda_kne0$, poiché se non esistesse $v_1$ sarebbe il vettore nullo.
$w_k=a_2w_2+...+a_(k-1)w_(k-1)+a_(k+1)w_(k+1)+...+a_mw_+1/lambda_kv_1,a_j=-lambda_j/lambda_k$

E mostri che $span(w_1,...,w_m)=span(v_1,w_2,...,w_(k-1),w_(k+1),...,w_m)$

Facendo questo giochetto $m$ volte ottieni che $span(v_1,...,v_m)=W$
E quindi che preso $v_(m+1)$ si potrà scrivere come combinazione lineare di $v_1,...,v_m$ ma questo è assurdo poiché $v_1,...,v_m,v_(m+1)$ sono vettori dicuna base e quindi linearmente indipendenti.
Per tanto deve essere $mgeqn$

E niente.