Significato Matematico e Fisico di un Tensore di Rango 3

[mklplo]

Scusa ma allora in che senso ci vogliono due "input" per definire una metrica,cosa sarebbero questi "input"?
Scusa se ti faccio queste domande ma io di tensori non ci capisco e non ci ho mai capito niente,so solo come usare il tensore metrico per calcolare le geodetiche,né di piu né di meno.
Mi sono dimenticato di dire un cosa,facendo un po di ricerche trovai scritto che così come le matrici possono rappresentare l'evoluzione di un sistema in funzione del tempo(sempre se la matrice dipende dal tempo),un tensore di rango 3 poteva rappresentare l'evoluzione del sistema non piu al variare del tempo,ma bensì alla variazione della funzione del tempo(in pratica rispetto a un funzionale).Ci tengo a dire che questa fonte non è sicura,quindi io non so se sia giusta o meno come affermazione,tu che ne dici?
Ti ringrazio per tutti gli aiuti che mi stai dando

[Antimius]

Mmh sinceramente non ho capito l'ultima affermazione. Però, per quanto riguarda la metrica, sai che in ogni punto è definita da una funzione bilineare $f(v_1,v_2)$. Come posso determinare univocamente $f$? Scrivendo $v_1 = \sum_i \alpha_i v^i$ e $v_2 = sum_j \beta_j v^j$. Allora $$ f= \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j f(v^i, v^j)$$
Osserva che $\alpha_i$ e $\beta_j$ sono soltanto le coordinate dei vettori $v$ e $w$. Ciò che determina univocamente la forma bilineare sono i coefficienti $R_{ij} = f(v^i,v^j)$ che formano una matrice (tensore di rango 2), perché dipendono da due indici. Perciò i tensori¹ di rango 2 descrivono naturalmente una metrica in un punto perché sono oggetti che dipendono da due indici (infatti puoi anche definire i tensori come applicazioni multilineari).
Allo stesso modo altre nozioni, come la curvatura di Riemann, hanno bisogno di più indici per essere descritte e quindi l'oggetto che li descrive è un tensore di rango superiore (4 nel caso del tensore curvatura di Riemann).

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Note

1. Non tutti in realtà, solo quelli covarianti. Quelli contravarianti descriverebbero una forma bilineare sullo spazio duale, ma se non sai la differenza tra covariante e contravariante, per ora, ignora questa nota. ↑

[mklplo]

Quindi se io volessi descrivere la metrica,non in un punto,ma lungo una curva,dovrei usare un tensore di rango 3 e su una superficie dovrei usare un tensore di rango 4 ?

[Antimius]

No, quello di cui parli è un campo tensoriale. Una metrica è definita punto per punto (sullo spazio tangente in quel punto più precisamente). Quindi in sostanza, in ogni punto hai un tensore diverso, i.e. i coefficienti, quando scrivi tutto in coordiate locali, non sono gli stessi ma dipendono dalle coordinate. Quindi in ogni punto hai un $R_{i,j}(x)$, dove $x$ è un certo vettore di coordinate. Quante componenti ha $x$ ti dice su che varietà stai lavorando: 1 coordinata per una curva, 2 coordiante per una superficie e così via. Ma il tensore, in ogni punto, dipende sempre da due indici, perciò ha comunque rango 2.

[mklplo]

Credo di star facendo molta confusione,non riesco proprio a capire a cosa si riferiscono gli indici,sono vettori di coordinate?
o qualche altra cosa?
Sempre se non ti reca disturbo,potresti rispondere?

p.s:per quanto riguarda l'affermazione di prima:

un tensore di rango 3 poteva rappresentare l'evoluzione del sistema non piu al variare del tempo,ma bensì alla variazione della funzione del tempo(in pratica rispetto a un funzionale).Ci tengo a dire che questa fonte non è sicura,quindi io non so se sia giusta o meno come affermazione,tu che ne dici?
Ti ringrazio per tutti gli aiuti che mi stai dando

mi stavo riferendo ai sistemi di tempo invarianti.

[Antimius]

No, no, il vettore di coordinate è $x$ e, in un certo sistema di riferimento, identifica il punto della varietà. Gli indici $i,j$ esprimono soltanto il fatto che la metrica è univocamente determinata dai suoi valori lungo le coppie $(v^i,v^j)$ formate dai vettori della base. Significa che per conoscere la metrica ti basta conoscere quei valori che dipendono da due indici $i$ e $j$ (perché stai considerando una coppia, altrimenti sarebbero più indici). Perciò l'oggetto che le descrive naturalmente è un oggetto che dipende da due indici e che si chiama tensore. Tutto qua.

Per l'affermazione di prima, come ho detto, non ne colgo il senso sinceramente, quindi non so risponderti.

[mklplo]

Penso di non aver esposto bene il mio dubbio,non capisco cosa siano le coppie $(v^i,v^j)$ in senso ,che poichè io non ho alcuna familiarità con l'algebra lineare,non so che cosa si intenda per coppie di valori,non so neanche cosa siano quei valori

[Antimius]

Rileggi bene quello che ho scritto: la metrica è univocamente determinata dai suoi valori lungo le coppie di vettori della base.
Dati due vettori (dello spazio tangente), la metrica in quel punto è $f(v,w)$. Per quanto scritto sopra, però, per sapere questo valore mi basta sapere tutti i valori $f(v^i,v^j)$, che chiamo $R_{ij}$. Perciò la metrica è univocamente determinata dalla matrice $R_{ij}$ in quel punto.
Questo era solo per farti un esempio e spiegarti il perché una metrica ha bisogno di un tensore di rango 2 per essere rappresentata. Ma non vuol dire che ogni tensore abbia alle "sue spalle" una coppia di vettori della base dello spazio tangente. Un tensore è solo un oggetto che viene rappresentato con più indici. Così come un vettore si rappresenta con uno, una matrice con due, un tensore di rango superiore si rappresenta con più indici. In alcune situazioni, è comodo rappresentare le cose in quel modo (come nel caso della metrica) e quindi si utilizzano i tensori. Tutto qui.

[mklplo]

Va bene,grazie