Significato Matematico e Fisico di un Tensore di Rango 3

[mklplo]

Salve,dopo che ho ritrovato i tensori un po' ovunque in matematica e in fisica,mi è venuto un dubbio:
"Se un tensore di rango 0 lo posso considerare come uno scalare,se è di rango 1 posso considerarlo come un vettore, se è di rango 2 lo posso considerare come matrice(che vengono usate ampiamente per indicare sistemi di equazioni),dal rango 3 in su come posso considerarli da un punto di vista si matematico che fisico e quando vengono utilizzati?"
Se non vi reca disturbo,potreste rispondere alla mia domanda?

[Antimius]

Dal rango 3 in poi li puoi pensare come array multidimensionali. Vengono usati, ad esempio, per definire la curvatura delle varietà differenziabili, che viene utilizzata nella relatività generale. Un altro esempio sono le forme differenziali che sono tensori alternati e sono legati a concetti di "volume" su varietà differenziabili. Ad esempio, la lunghezza di una curva, l'area di una superficie e, oltre al rango 2, di ipersuperfici.

[mklplo]

Grazie per la risposta,ti dispiacerebbe spiegarmi anche cosa vuol dire array multidimensionali e come calcolare lunghezza,area e volume con le forme differenziali?

[Antimius]

Un array multidimensionale è semplicemente un oggetto che dipende da più indici. Un vettore dipende da 1, una matrice dipende da 2, un tensore di rango 3 dipende da 3, ecc. Così come una matrice la puoi immaginare come una tabella a due entrate, un tensore di rango 3 lo puoi immaginare come un "cubetto" a tre entrate che ha numeri disposti lungo le tre direzioni, in accordo con gli indici. Ovviamente, non puoi visualizzare i tensori di rango superiore in questo modo.

Per quanto riguarda la seconda domanda, ti invito a cercare "integrazione su varietà differenziabili" o "integrazione di forme differenziali" se ti interessa studiare l'argomento, perché è un po' vasto per essere esaurito in un semplice post. Ciononostante, se ti interessa come si risolve il calcolo praticamente, quello che si fa è sempre esprimere le parametrizzazioni locali delle varietà differenziabili e calcolare gli integrali lungo quelle parametrizzazioni. E' quello che fai quando calcoli un integrale superficiale su una sfera, ad esempio, o un integrale curvilineo su una circonferenza.

[mklplo]

Grazie.Il dubbio che mi rimane,e che se non ti infastidisce vorrei ce mi togliessi è questo:
"Le matrici possono essere usate per rappresentare un sistema fisico che varia nel tempo,ma ad esempio,un tensore di rango 3 come posso utilizzarlo ?"

[Antimius]

Non dev'essere necessariamente variabile nel tempo. Lo è se la matrice dipende dal tempo. Quello che è importante è che dipende da due indici. Ad esempio il tensore di inerzia dipende da $i$ e $j$ dove entrambi possono indicare una delle tre direzioni $x,y,z$. Un altro esempio è il tensore metrico: in ogni punto hai una forma bilineare (quindi dipendenza da due indici) e perciò hai bisogno di una matrice per scriverlo. Il concetto è lo stesso però quando hai dipendenza da 3 o più indici.
L'unico esempio che mi viene in mente in fisica è il tensore di Riemann, che è utilizzato per esprimere la curvatura dello spazio-tempo, ed è di rango 4. Osserva che però esistono altri modi di esprimere la curvatura e sono: la curvatura scalare e il tensore di Ricci (che ha rango 2).

[mklplo]

ok,ma quand'è che un sistema dipende da 2 indici e quando che ne dipende da 3 o piu?

[Antimius]

Dipende dalla situazione, non è che c'è una regola generale. O forse non mi è chiaro cosa vuoi sapere veramente.
Se vuoi pensare a un esempio, pensa al tensore metrico (se lo conosci). Ti dovrebbe essere abbastanza chiaro perché è di rango 2: a ogni punto dello spazio si associa una metrica nello spazio tangente. Ma una metrica ammette due "input", perciò ho bisogno di due indici per rappresentarla (pensala rappresentata in coordinate rispetto a una base, se ancora non ti è chiaro: a quel punto hai bisogno di sapere quanto vale su tutte le coppie $(v_i,v_j)$).
Allo stessso modo, ci sono situazioni in cui è necessario considerare le triplette ecc. Ad esempio per il tensore di Riemann hai bisogno di 4 indici. Ma devi andare a vedere come è definito per capirne il perché.

Inoltre, in questa discussione non stiamo distinguendo tra tensore e campo tensoriale. Un tensore è semplicemente un oggetto che dipende da vari indici. Un campo tensoriale è un'applicazione che a ogni punto dello spazio associa un tensore. Un esempio semplice di questo è una matrice e una matrice che dipende dalle coordinate $(x,y,z)$.
Ovviamente puoi anche pensare a un tensore come a un campo tensoriale costante in ogni punto.

[mklplo]

Se ho capito bene,se posso rappresentare un tensore con dei vettori esso è del rango 2,mentre se per rappresentarlo uso dei bi-vettori,il tensore è di rango 3 giusto?

[Antimius]

vettore -> tensore di rango 1
matrice -> tensore di rango 2

Con bivettore, se non erro, si indica un tensore alternato di rango 2 (i.e. $a \wedge b$), che può essere rappresentato da una matrice antisimmetrica.