Continuità delle trasformazioni di Möbius

[bruco_vdr]

Come si dimostra la continuità di una trasformazione di Möbius \(\displaystyle T(z)=\frac{az+b}{cz+d} \) da \(\displaystyle \mathbb{C} \cup \infty \) in se stesso?

Come suggerimento mi viene detto di usare l´omeomorfismo con \(\displaystyle S^2 \) dato dalla proiezione stereografica e i limiti \(\displaystyle \lim_{z\rightarrow \frac{-d}{c}} |T(z)|= \infty \) e \(\displaystyle \lim_{|z|\rightarrow \infty} T(z)= \frac{a}{c} \).

Sinceramente non so proprio da dove cominciare, perché non capisco che definizione di continuità debba usare!

[Seneca]

Dai un'occhiata alle prime 3-4 pagine di queste note. Dovrebbero fornirti tutti gli elementi per capire la questione che hai posto.

[bruco_vdr]

Dai un'occhiata alle prime 3-4 pagine di queste note. Dovrebbero fornirti tutti gli elementi per capire la questione che hai posto.

Non so se ho capito bene, ma ci provo: preso \(\displaystyle z \in \mathbb{C} \setminus \{-\frac{d}{c}\} \) non ci sono problemi (ho una funzione lineare fratta che è continua nel suo dominio).
Devo andare a guardare quello che succede in \(\displaystyle \infty \) e in \(\displaystyle -\frac{d}{c} \). Per farlo, uso la proiezione stereografica (che indico con \(\displaystyle \phi \)) e vedo come si comporta la funzione \(\displaystyle \phi T \phi^{-1} \) sui punti \(\displaystyle (0,0,1) \) e \(\displaystyle \phi^{-1}( -\frac{d}{c})\).
Corretto?