un piano che è spazio vettoriale si può scrivere come un'applicazione lineare?

[wattbatt]

la retta che passa per l'origine y=x è uno spazio vettoriale, e si può scrivere come:

f: R->R
x->f(x)

e fin qui spero sia tutto giusto...
anche il piano x+y+z=0 è uno spazio vettoriale, ma si può scrivere come una funzione?
L'unica cosa che mi viene in mente di fare è raccogliere una variabile, ma dopo che ho x=-y-z non saprei

[Antimius]

E' esattamente quello. Quella che hai scritto è un'applicazione in due variabili: $x=f(y,z)$. cioè da $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}$. Più precisamente: $$\mathbb{R}^2 \ni (y,z) \mapsto f(y,z)=-y-z \in \mathbb{R}$$
Ovviamente puoi scriverla anche come funzione rispetto alle altre due coppie di variabili, ma non sempre puoi scriverla come funzione rispetto a ogni coppia. Ad esempio, $x+y=0$ è una funzione rispetto a $(x,z)$ e $(y,z)$ ma non rispetto a $(x,y)$ (allo stesso modo in cui $x=2$ non è una funzione rispetto a $x$.).

[wattbatt]

E' esattamente quello. Quella che hai scritto è un'applicazione in due variabili: $x=f(y,z)$. cioè da $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}$..

grazie, era proprio quella la parte che mi sfuggiva; stando quello che hai scritto mi viene una curiosità... se un piano è da R2 in R, per caso una f da R2 in R2 descrive un oggetto tridimensionale?

[Antimius]

No, un oggetto "tridimensionale" (bisognerebbe specificare in che senso, ma per ora soffermiamoci ai sottospazi lineari) immerso nello spazio $\mathbb{R}^4$ è il grafico di una funzione da $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Quello che dici tu puoi pensarlo come a un campo di vettori, cioè un'applicazione che in ogni punto di associa un vettore, cioè una freccia che ti dice direzione, verso e intensità di una certa grandezza (se vuoi un esempio pratico, puoi pensare al vento o allo scorrere di un fiume, ma matematicamente è quello che ho detto e basta).