Dopo aver superato l'esame di topologia generale,ne sto approfondendo alcuni argomenti perché mi è piaciuta un sacco, in particolare mi attraeva la compattificazione di Stone-Čech a cui il prof aveva solo accennato.
Solo che, considerando che in matematica si cerca di mettere ipotesi "minimali" in qualsiasi cosa si fa, mi è sorto un dubbio: nel caso della compattificazione di Stone-Čech le cose stanno veramente così?
Da dove ho studiato io (il mitico Dugundji) l'ipotesi che si fa che lo spazio sia completamente regolare (ciò che qui https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Tychonoff chiama di Tychonoff), il punto è che non capisco dove si usi VERAMENTE questa proprietà, nel teorema in cui si immerge uno spazio completamente regolare in modo omeomorfo all'immagine, si usa che lo spazio è regolare per dimostrare che l'applicazione è aperta, mante si usa la proprietà completamente Hausdorff (nel senso che c'è anche qui https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn_a ... rff_spaces) per dimostrare che è iniettiva (almeno il Dugundji fa così), è chiaro che essere completamente regolare implica sia regolare che completamente Hausdorff, ma perché allora si richiede proprio completamente regolare e non regolare e completamente Hausdorff?
Pensandoci un po' mi è venuto in mente che forse le 2 cose erano equivalenti, e cosa fare per verificarlo di meglio se non cercare se sul "Counterexamples in Topology" di Steen e Seebach c'è un controesempio a questa ipotesi, risultato? C'è un controesempio, il numero 91.
Quindi il punto è, la compattificazione di Stone-Čech si potrebbe fare anche in questi spazi (chiamiamoli "strani") o c'è qualche dettaglio che non permette di farlo, o ancora magari in questo caso non ci importa se facciamo una cosa con delle ipotesi che non sono "minimali"?
Mi scuso per aver scritto così tanto, ma era un dubbio che mi volevo togliere e ringrazio molto chiunque abbia la pazienza di leggere tutto il messaggio e di rispondermi. Spero inoltre di essere riuscito a spiegarmi chiaramente.