Sulle ipotesi alla base della compattificazione di Stone-Čech

Messaggioda otta96 » 11/05/2017, 18:59

Dopo aver superato l'esame di topologia generale,ne sto approfondendo alcuni argomenti perché mi è piaciuta un sacco, in particolare mi attraeva la compattificazione di Stone-Čech a cui il prof aveva solo accennato.
Solo che, considerando che in matematica si cerca di mettere ipotesi "minimali" in qualsiasi cosa si fa, mi è sorto un dubbio: nel caso della compattificazione di Stone-Čech le cose stanno veramente così?
Da dove ho studiato io (il mitico Dugundji) l'ipotesi che si fa che lo spazio sia completamente regolare (ciò che qui https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Tychonoff chiama di Tychonoff), il punto è che non capisco dove si usi VERAMENTE questa proprietà, nel teorema in cui si immerge uno spazio completamente regolare in modo omeomorfo all'immagine, si usa che lo spazio è regolare per dimostrare che l'applicazione è aperta, mante si usa la proprietà completamente Hausdorff (nel senso che c'è anche qui https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn_a ... rff_spaces) per dimostrare che è iniettiva (almeno il Dugundji fa così), è chiaro che essere completamente regolare implica sia regolare che completamente Hausdorff, ma perché allora si richiede proprio completamente regolare e non regolare e completamente Hausdorff?
Pensandoci un po' mi è venuto in mente che forse le 2 cose erano equivalenti, e cosa fare per verificarlo di meglio se non cercare se sul "Counterexamples in Topology" di Steen e Seebach c'è un controesempio a questa ipotesi, risultato? C'è un controesempio, il numero 91.
Quindi il punto è, la compattificazione di Stone-Čech si potrebbe fare anche in questi spazi (chiamiamoli "strani") o c'è qualche dettaglio che non permette di farlo, o ancora magari in questo caso non ci importa se facciamo una cosa con delle ipotesi che non sono "minimali"?
Mi scuso per aver scritto così tanto, ma era un dubbio che mi volevo togliere e ringrazio molto chiunque abbia la pazienza di leggere tutto il messaggio e di rispondermi. Spero inoltre di essere riuscito a spiegarmi chiaramente.
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Re: Sulle ipotesi alla base della compattificazione di Stone-Čech

Messaggioda otta96 » 24/05/2017, 18:37

Uppettino. Nessuno dice niente? Capisco che è una domanda molto strana/insolita/difficile, ma speravo che qualcuno avesse la pazienza di rispondermi; nel frattempo ci ho pensato un po' e mi era venuto in mente che forse la proprietà di essere degli spazi "strani" (nello stesso senso già definito) non passasse ai prodotti e ai sottospazi, che è una cosa su cui si basa la dimostrazione, solo che la reglolarità non dà questo tipo di problemi, e pensandoci mi sono accorto che nemmeno l'essere completamente Hausdorff ne dà.
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Messaggioda j18eos » 25/05/2017, 14:35

Mi scuso che non riesco a dare una risposta esauriente, tra l'altro non ho mai usato questa tecnica di compattificazione!

Il punto è che ogni spazio topologico è compattificabile secondo Stone e Čech; se lo spazio base non è sufficientemente "bello" non hai che questi è omeomofro a un sottoinsieme aperto e denso nella sua compattificazione, e\o che tale costruzione sia funtoriale.

Un analogo discorso vale per la compattificazione di Alexandroff (da non confondere con Alexander).
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Re:

Messaggioda otta96 » 25/05/2017, 19:39

Innanzitutto grazie mille per aver risposto! :D
j18eos ha scritto:se lo spazio base non è sufficientemente "bello" non hai che questi è omeomofro a un sottoinsieme aperto e denso nella sua compattificazione

Ma allora perché si può dire che è una compattificazione? Non è proprio quella la definizione? Poi non capisco perché dovrebbe essere aperto.....
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Messaggioda j18eos » 27/05/2017, 13:01

In entrambe le costruzioni, ottieni una funzione continua di \(\displaystyle X\) nella sua compattificazione;

nel caso della tecnica di Alexandroff, ottieni che l'immagine di \(\displaystyle X\) in \(\displaystyle X^{*}\) è aperta e densa, in particolare \(\displaystyle X\) è omeomorfo a un sottoinsieme aperto e denso di \(\displaystyle X^{*}\);

nel caso della tecnica di Stone-Čech, ottieni che \(\displaystyle\beta X\) è uno spazio di Hausdorff compatto; inoltre, può accadere che la funzione canonica \(\displaystyle X\to\beta X\) non sia nemmeno iniettiva.

Nel secondo caso, se non si utilizza qualche ipotesi del tipo \(\displaystyle X\) è di Tikhonov non puoi affermare nulla di più di quanto ti ho scritto.

Posso suggerirti qualche testo sull'argomento, se vuoi...
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Re: Sulle ipotesi alla base della compattificazione di Stone-Čech

Messaggioda otta96 » 27/05/2017, 15:01

Prova a suggerirmelo già che ci sei, poi se ho tempo ci do un'occhiata, comunque mi pare di capire che segui un approccio molto diverso da quello che conosco io. Grazie ancora della risposte.
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Messaggioda j18eos » 28/05/2017, 15:39

S. Bianco, P. M. Gandini (2006) Appunti di topologia. Quaderno Didattico del dipartimento di matematica "G. Peano" dell'università di Torino

R. C. Walker (1974) The Stone-Čech Compactification, Springer - Verlag.
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