Trovare il sistema lineare avendo il sottospazio delle soluzioni

[Sword]

Salve a tutti ragazzi,
mi ero messa a fare degli esercizi di geometria e ne ho trovato uno diverso dal solito riguardanti i sistemi lineari.
Mi chiede: per il seguente sottospazio di R^4 determinare un sistema di equazioni lineari omogenee con il cui insieme delle soluzioni coincida con L{(1,2,0,1);(2,1,-1,1);(-1,4,2,1)}
Di solito io dovevo trovare le soluzioni e quindi trovo difficoltà a capire come svolgere questo esercizio.
Pensandoci credo o che si possa utilizzare l'uguaglianza
AX=0 dove X sarebbero le soluzioni oppure il concetto di rango, però non sono sicura e vorrei avere un vostro consiglio.
Grazie a chi risponderà

[sandroroma]

Si scrive la matrice 4x4 che nelle prime 3 righe porta i vettori assegnati e nella quarta il vettore (x,y,z,t).
\[\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&1&-1&1\\-1&4&2&1\\x&y&z&t \end{pmatrix}\]
Si riduce la matrice a scalini ( per righe):
\[\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&-3&-1&-1\\0&0&0&0\\0&0&-2x+y-3z&x+y-3t \end{pmatrix}\]
Il sistema di equazioni, equivalente alle soluzioni assegnate, si ottiene ponendo a zero i termini non nulli
dell'ultima riga.
\[\begin{cases}2x-y+3z=0\\x+y-3t=0\end{cases}\]
Si può facilmente verificare che tale sistema è soddisfatto dai vettori dati.