Integrale di una forma differenziale

[Trilogy]

Ciao a tutti!

Sto leggendo una dimostrazione nel libro Principles of Algebraic Geometry di Griffiths e Harris della proposizione (a pagina 110) che dice che i numeri di Betti pari di una varietà di Kähler sono positivi.

Tanto per cominciare, prendo come definizione di $r$-esimo numero di Betti $$b_r(M)=\dim H_{DR}^r(M,\mathbb C)$$la dimensione dell'$r$-esimo gruppo di coomologia di De Rham. La dimostrazione intuitivamente è facilissima, si dimostra che esiste una $2q$-forma differenziale chiusa ma non esatta. So che una certa $2$-forma $\omega$ (la forma associata alla metrica di Kähler) è chiusa, quindi $\omega^q$ sarà una $2q$-forma chiusa. Il problema è che non capisco perché non dovrebbe essere esatta. Nel libro c'è scritto che questo non vale perché se avessi $\omega^q=d\psi$ allora $$\int_M\omega^n=\int_Md(\psi\wedge\omega^{n-q})=0,$$ dove $n$ è la dimensione di $M$. E il libro dice che questo non può succedere perché $\omega^n \/ n!$ è la forma di volume.
Visto che non so quasi niente sull'integrazione di forme differenziali, posso prendere per buono che il primo integrale non possa essere zero, ma perché il secondo lo è?

Grazie a tutti, buona giornata!

[Trilogy]

Forse ho capito. È possibile che derivi dal Teorema di Stokes e dal fatto che $M$ non ha frontiera?

[dan95]

Sì esatto, immagino che volessi scrivere $\omega^q=d\psi$

[Trilogy]

Grazie mille per la risposta! E sì, grazie, ho corretto