Dubbio sulle matrici ridotte con Gauss

[Bertucciamaldestra]

Ho due dubbi:
Se riduco una matrice a scalini con Gauss, va bene se ottengo una matrice con degli zeri anche al di sopra dei pivot?
E se al posto di un pivot ho uno zero?
Ad esempio
$((1,2,0,3),(0,0,3,4),(0,0,0,3))$

[axpgn]

... va bene se ottengo una matrice con degli zeri anche al di sopra dei pivot?

Sì, anzi si dovrebbe sempre arrivare lì ... se non ricordo male il metodo "completo" si chiama "di Gauss-Jordan": applichi Gauss all'andata e Jordan al ritorno ... ... (in pratica non è altro che l'applicazione delle stesse operazioni dal "sotto in su")

E se al posto di un pivot ho uno zero?
Ad esempio
$ ((1,2,0,3),(0,0,3,4),(0,0,0,3)) $

Che vuol dire? Da cosa identifichi che una colonna è un pivot?

[Bertucciamaldestra]

Perfetto, grazie!! Scusami mi son spiegata male, se ci sono degli zeri sulla diagonale anzichè dei numeri, va bene oppure no? Se invece ci fosse un numero al posto dello zero in posizione (3,3) non andrebbe bene giusto? Perchè i pivot sono sempre di almeno una posizione più a destra rispetto al pivot della riga precedente (cosa che non si verificherebbe)...
Ma se vale ciò allora una matrice ridotta così è anch'essa accettabile?
$((1, 2, 3, 4, 5),(0, 0, 0, 4, 5),(0, 0 ,0, 0, 5))$
Grazie ancora questo Gauss non smette mai di stupirmi!

[axpgn]

Una matrice così è ridotta "a scalini" anche se formalmente i pivot andrebbero portati a $1$, ma questo è immediato dato che basta dividere la seconda riga per quattro e la terza per cinque ...

Penso di averti già detto che non sono un esperto, comunque conosco una formulazione delle proprietà di una matrice ridotta "a scalini" in modo "completo" e sarebbe questa:

1) Una riga dove ogni valore è pari a zero deve stare sotto tutte le altre che contengono valori diversi da zero

2) Il valore (diverso da zero) più a sinistra di una riga deve essere $1$

3) Il valore (diverso da zero) più a sinistra di una riga deve essere l'unico valore diverso da zero nella sua colonna

4) Considerati due valori (diversi da zero) più a sinistra nella loro riga, uno nella riga $i$ e colonna $j$, e l'altro nella riga $s$ e nella colonna $t$, allora se $s>i$ deve essere $t>j$.

In pratica questa formulazione è più restrittiva del necessario in molti casi, per esempio per determinare quali e quante siano le colonne pivot bastano i punti 1) e 4) (in pratica solo il 4) ... e d'altra parte adempiere alla 1) e alla 2) è semplice ...)

Cordialmente, Alex

[Bertucciamaldestra]

Sul punto 2 non penso perchè gli esercizi che ho visto non richidevano questa condizione (ad esempio per calcolare il rango) però grazie le altre condizioni mi hanno tolto ogni dubbio!

[axpgn]

Certamente per determinare il rango, come detto, bastano la 1) e la 4) però una matrice ridotta di quel tipo è utilissima ... per esempio, prendiamo questo sistema ${(x_1-x_2+2x_3=1),(2x_1+x_2+x_3=8),(x_1+x_2=5):}$, lo riduciamo ad una matrice a scalini che rispetti quelle quattro condizioni $[(1,0,1,3),(0,1,-1,2),(0,0,0,0)]$, allora è possibile "leggervi dentro" direttamente la soluzione che è ${(x_1=3-a),(x_2=2+a),(x_3=a):}$