Credo che la tua domanda possa avere una risposta soddisfacente usando il tasto cerca del forum: in questa sezione è una delle domande più frequenti.
Senza essere troppo formali e procedere al caso generale, quello che chiedi tu è sostanzialmente un cambiamento di base per un'applicazione lienare tra spazi vettoriali.
La situazione è questa: hai la $f:V \rarr W$ con matrice associata $A$ rispetto alla base canonica $\xi$ su dominio e codominio e vuoi trovare la matrice associata all'applicazione rispetto alla base $B$. Nel caso tu abbia un endomorfismo la strategia è semplice, detta $P$ la matrice di passaggio hai che $B=P^-1AP$.
La teoria che c'è dietro non è per nulla così, anche se come spesso accade in algebra lineare questi esericizi possono essere "schematizzati" e a livello operativo le cose non sono altro che "conticini".
Ad ogni modo, visto che hai chiesto un esempio, eccoti un tipico esercizio riassuntivo sulle applicazioni lineari. Prova a farlo, così vediamo insieme dove ci sono problemi. Se non ti va di fare i punti (i),(ii),(iii),(iv) e passare subito al (v) non c'è nessun problema.
EsercizioSia $f:RR^3 \rarr RR^2$ tale che $f(x,y,z) \mapsto (x-y,x+2z)$.
(i) Verificare che si tratta di un'applicazione lineare.
(ii)Trovare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica $\xi$.
(iii)Determinare una base di $ker(f)$ e $Im(f)$. Per quali valori, se esistono, di $alpha$ il vettore $(2,4)$ appartiene a $Im(f)$?
(iv)Determinare la controimmagine di $(1,1)$.
(v)Dopo aver verificato che $B={(1,\sqrt(3),0),(0,1,0),(0,0,1)}$ è una base di $RR^3$, e $B'={(1,\sqrt(2)),(0,1)}$ una di $RR^2$, determinare la matrice associata a $f$ rispetto a $B$, $B'$.
Sol (v).:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$M=[ ( 1-sqrt(3) ,-1,0 ),( 1-sqrt(6)-sqrt(2),sqrt(2),2 ) ]$