Non trovo da nessuna parte una dimostrazione di quanto sto per dire, dunque ci ho provato io.
Potete dare un'occhiata?
Sia $(A,phi)$ spazio affine su $V$
Supponiamo esistano $phi:AtimesA->V$ e $varphi:AtimesV->A$
Dove sono definite come $phi(P,v)=P+v$ e $varphi(P,Q)=w$
Ora devo dimostrare l'equivalenza tra le due.
Ora fisso $P inA$ e $v inV$ so per definizione che esistono unici(li prendo distinti) $Q,R$ tali che
$phi(P,v)=Q$ e $varphi(P,R)=v$ ovvero devo mostrar che $Q=P$
So che $f:A->V$ è biunivoca dunque è definita $f^(-1):V->A$
Ora ho $R=(f^(-1)circf)(R)=f^(-1)(f(R))=f^(-1)(v)=Q$
Quindi $phi(P,v)=Q <=> phi(P,Q)=v$
