Esercizio applicazione lineare

[qwerty97]

Potete aiutarmi per i punti 2 e 3?


http://imgur.com/a/5YpsX

[Shocker]

Ciao,


ci sono due modi per fare il punto 2: il primo è osservare che se $f$ è un endomorfismo(o un'applicazione lineare fra spazi della stessa dimensione) allora è iniettiva se e solo se è suriettiva, quindi in questo caso non è suriettiva perché per costruzione ha come nucleo $V$; il secondo modo è trovare l'immagine di $f$ è dimostrare che non è tutto lo spazio di arrivo.

Il terzo punto è molto standard, dove trovi difficoltà?

[qwerty97]

Grazie

Per trovare matrice associata.

[Shocker]

Ciao,

sai che $f$ è diagonalizzabile perché la dimensione del $ker$ è $1$ e $f$ ha un autospazio relativo a $2$ di dimensione $2$ quindi $\mathbb{R^3} = V_0 \oplus V_2$, una base di $V_2$ ce l'hai gratuitamente dalla traccia dell'esercizio, mentre per trovare una base del $Ker$ basta risolvere le equazioni cartesiane che descrivono $V$. Una volta trovata una base per $V = V_0$ e per $V_2$ sai tutto: come base $B$ dello spazio prendi l'unione di quelle che hai trovato(trovi una base perché gli autospazi sono in somma diretta e danno tutto $\mathbb{R^3}$), dopodiché la matrice associata è semplice da trovare: basta applicare la definizione e ricordarsi che $B$ è una base costituita da autovettori per $f$.