Sostituzione elementi di insieme di vettori linearmente indipendenti

[tecya]

Sia \(\displaystyle \{v_1,...,v_n\} \) un insieme di \(\displaystyle n>=3 \) vettori linearmente indipendenti.
Siano \(\displaystyle v'_1=5v_1-\alpha v_2 -\beta v_3 \) e \(\displaystyle v'_n=\alpha v_1+\beta v_2-2v_n\) con \(\displaystyle \alpha , \beta \in \mathbb{R} \).
I vettori \(\displaystyle \{v'_1,v_2, ... ... ...,v_{n-1}, v'_n\} \) sono linearmente indipendenti?

Risposta multipla:
a) Vero
b) Falso
c) Dipende dai valori di \(\displaystyle \alpha , \beta \)
d) Dipende dagli specifici \(\displaystyle \{v_1,...,v_n\} \)

Tentativo di soluzione:
Se avessi dei valori concreti su cui lavorare, potrei fare il determinante e caso chiuso, ma non è così...
Ho ragionato sulla definizione: "Se n vettori sono linearmente dipendenti, allora almeno uno è combinazione lineare degli altri."

Qui però vado anche a sostituire il \(\displaystyle v_1 \) originale, così ho pensato che la sostituzione non è altro che una rimozione di elementi seguita da un'aggiunta di elementi. Io so che se ad un insieme di vettori linearmente indipendenti tolgo alcuni vettori, questo nuovo insieme sarà ancora linearmente indipendente, quindi \(\displaystyle \{v_2,...,v_{n-1}\} \) è linearmente indipendente.

Andando invece ad aggiungere \(\displaystyle \{v'_1,...,v'_n\} \) la cosa cambia: Questa proprietà non ci è più utile perchè vale solo per la rimozione.


Io mi sentirei di dire che dipende dagli specifici \(\displaystyle \{v_1,...,v_n\} \), ma non ne ho idea


Sto provando anche a fare il ragionamento opposto, ovvero che se dimostro che l'insieme \(\displaystyle \{v'_1,v'_n\} \) è dipendente allora anche l'insieme \(\displaystyle \{v'_1,v_2, ... ... ...,v_{n-1}, v'_n\} \) lo sarà.

[Magma]

Ciao,

Sia $V$ uno spazio vettoriale, dati $v_1, ..., v_n in V$, allora le seguenti cose sono equivalenti

$(1)$ $v_1, ..., v_n$ sono l.d.
$(2)$ uno dei vettori $v_1, ..., v_n$ è C.L. dei rimanenti.

Da ciò si evince che un dato insieme di vettori l.i. $w_1, ..., w_n$ rimane tale solo se si aggiungono (ovviamente se possibile, vedi il lemma di Steinitz) vettori che non sono C.L. lineare di $w_1, ..., w_n$

[tecya]

Quindi, ipotizzando che il mio insieme sia \(\displaystyle n=3 \), visto che dico che \(\displaystyle v'_1=5v_1-\alpha v_2 -\beta v_3 \) allora è combinazione lineare degli altri e quindi la risposta è: b) Falso?

[Magma]

Quindi, ipotizzando che il mio insieme sia \( \displaystyle n=3 \), visto che dico che \( \displaystyle v'_1=5v_1-\alpha v_2 -\beta v_3 \) allora è combinazione lineare degli altri e quindi la risposta è: b) Falso?

Non proprio!

$v'_1=5v_1-\alpha v_2 -\beta v_3$

Se si considera $alpha, beta=(0,0)$, si ha

$v'_1=5v_1$

E l'indipendenza di $v'_1, v_2, v_3$ rimane assicurata in quanto $v'_1$ non è C.L. di $v_2, v_3$.




Comunque eri arrivato alla soluzione senza accorgertene, ti sei fatto distrarre dalla rimozione dei due vettori

Ho ragionato sulla definizione: "Se $n$ vettori sono linearmente dipendenti, allora almeno uno è combinazione lineare degli altri."

P.S. Sapere aude!

[tecya]

In definitiva allora, dipende dai valori di \(\displaystyle \alpha , \beta \), in quanto potrei anche prendere \(\displaystyle α,β=(1,1) \)?

Scusa se sono duro di comprendonio