irriducibilità nei C di una curva

[jimorrison1981]

Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Geometria 2.
vi sottopongo il seguente esercizio

Data la curva affine di equazione y^4 = x^3 -xy^2

1) dimostrare che è irriducibile nei complessi;
2) determinare le sue singolarità;
3) dire se si tratta di una curva razionale.

grazie mille

[sandroroma]

L'equazione della curva manca dei temini di grado inferiore a 3 e quindi l'origine O(0,0) è un punto triplo.
Il complesso tangente alla curva in tale punto è : $x^3-xy^2=0$ che si spezza nelle 3 rette:
$x=0,x+y=0,x-y=0$
Si tratta quindi di un punto triplo ordinario, equivalente a 3 punti doppi. La curva possiede quindi il massimo numero di
punti doppi ammissibile per una quartica e pertanto è razionale. Volendo trovare anche le equazioni parametriche
si debbono determinare le cosiddette curve aggiunte che nel nostro caso sono rappresentate semplicemente dalle rette
passanti per O e quindi di equazione $y=tx$. Intersecando la curva con tali rette si trovano 4 intersezioni di cui
ovviamente 3 coincidono con l'origine O mentre le coordinate dell'intersezione residua danno le equazioni parametriche
della curva. Effettuando i facili calcoli si trova che dette equazioni sono:
\begin{cases} x=\frac{1-t^2}{t^4}\\ y=\frac{1-t^2}{t^3} \\ \end{cases}
Sulla irriducibilità presumo sia una cosa facile ma non mi viene niente in mente

[jimorrison1981]

grazie davvero !
sei molto gentile

[Stickelberger]

Sia $v=y/x$ e $u=1/x$. Allora l’equazione di $C$ diventa
$$v^4+tu^2-u=0.$$
Se vediamo $v^4+uv^2-u$ come polinomio in $v$ con coefficienti in $CC[u]$,
possiamo applicare il criterio di Eisenstein rispetto al primo $u$.

E quindi la curva $C$ e’ irriducibile.

[j18eos]

Sia \(\displaystyle\overline{C}\) la chiusura proiettiva di \(\displaystyle C\) in \(\displaystyle\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}\);

dai calcoli svolti da sandroroma, hai che \(\displaystyle\overline{C}\) è l'immagine di
\[
\gamma:[s:t]\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to[s^2(s^2-t^2):st(s^2-t^2):t^4]\in\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}
\]
quindi \(\displaystyle C\) è una curva razionale.

Poiché \(\displaystyle\overline{C}\) è l'immagine continua di un insieme irriducibile, è anch'esso irriducibile; allora \(\displaystyle C\) è irriducibile in quanto è tale la sua chiusura (proiettiva).

Torna tutto? A me sì!