Laplaciano di un tensore

[bibiri]

Salve a tutti,
non riesco a trovare da nessuna parte il laplaciano di un tensore di rango 2. Ho provato partendo dalla definizione, quindi cercando di fare la divergenza del gradiente, ma mi sono persa nel fare il gradiente che dovrebbe restituire un tensore di rango 3.
Tra l'altro questo calcolo mi servirebbe in coordinate cilindriche, ma capire almeno come si fa in coordinate cartesiane già sarebbe qualcosina... SOS :/

[mklplo]

Ammetto di non saperne molto,ma anch'io mi interessai a questo argomento,un anno fa e mi fu molto utile questo sito:https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_derivative_(continuum_mechanics)
Infatti riporta anche il gradiente e la divergenza di un campo tensoriale,da li non dovrebbe essere difficile calcolare il laplaciano,spero di esserti stato d'aiuto.

[bibiri]

Ti ringrazio per il link. Non è completamente esaustivo per il mio problema, ma ho fatto passi avanti.

Io devo fare il laplaciano, quindi la divergenza del gradiente.

Per semplicità parto dalle coordinate cilindriche.

Come dice il link che mi hai indicato, il gradiente di un tensore di rango 2 S è un tensore di rango 3 T in cui ogni elemento è dato da (le equazioni sono tutte sotto in allegato):

EQ1


Ora, di questo tensore T devo fare la divergenza. Nel link che mi hai riportato non c'è la divergenza di un tensore di rango 3, ma ho cercato di ricavarla per estrapolazione. Se la divergenza di un tensore di rango 2 è EQ2, ho pensato che la divergenza di un tensore di rango 3 è EQ3.

Ora, il mio problema è che devo fare il tutto in coordinate cilindriche. Riesco a fare facilmente il gradiente del tensore, infatti nel link allegato è riportato il risultato elemento per elemento. Di questo però poi ho grandi difficoltà a fare la divergenza.

SOS di nuovo

[mklplo]

mi dispiace,però non ho mai provato a farlo in coordinate che non siano quelle cartesiane e non so come aiutarti.

[j18eos]

@bibiri Non sarebbe più facile per tutti\e\* se tu scrivessi esplicitamente chi sono la manifold su cui lavori, il tensore \(\displaystyle T\) e in quali coordinate lo stai descrivendo?!

[bibiri]

@bibiri Non sarebbe più facile per tutti\e\* se tu scrivessi esplicitamente chi sono la manifold su cui lavori, il tensore \(\displaystyle T\) e in quali coordinate lo stai descrivendo?!

ciao j10eos.
In realtà il mio problema è che non conosco le componenti del tensore. Mi spiego meglio. Ho un'equazione da risolvere, l'unica incognita è il tensore (ovviamente verrà un sistema di equazioni).

In questa equazione tra i vari termini compare il tensore in questione, o, più precisamente, il laplaciano del tensore.

Io, ora, l'equazione la devo risolvere in coordinate cilindriche. Quindi, se x, y e z sono le 'classiche' coordinate cartesiane, rispetto alle quali so fare il laplaciano, io mi chiedo il laplaciano come viene in coordinate r, theta, z, dove
x = r*cos(theta)
y = r*sin(theta)
z = z

Quindi, le componenti del tensore sono generici T_rr, T_rtheta, T_rz, e così via, ma fare il laplaciano in queste coordinate non è uguale a farlo in coordinate cilindriche, e io mi chiedo quanto viene.