Sottospazio unione,somma, supplementare

[Vicia]

Buon pomeriggio a tutti, vorrei chiedere dei chiarimenti su quest'esercizio oggetto di esame:
" Siano $A=((3 ,1),(−1, 2))$ e $B=((2, 1),(0 ,−1))$ due matrici di $M_2(RR)$ .
Siano $U = {X in M_2(RR) : AX = XA}$ e $W =((a, b),(c, d )) in M_2(RR) : 2a + 3d = 0$.
1) Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$; determinare una base e la dimensione di U e W.
2)Calcolare $U ∩W $e $U +W$ e determinarne una base e la dimensione. $U ∪W$ è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$?
3) Determinare un sottospazio supplementare di $ U+<A,B> $

Come procedo nell'individuare il sottospazio somma e il sottospazio unione?
Per il punto 3, come devo procede?
Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

$UcupW$?

[cooper]

in realtà non so se ho ben capito le richieste del testo e i tuoi dubbi, però provo lo stesso a risponderti.

Come procedo nell'individuare il sottospazio somma

intendi come calcolare una sua base? se si considera il sistema omogeneo associato formato da tutte le equazioni che definiscono i due sottospazi

sottospazio unione

l'unione non è in generale un sottospazio. chiede di verificarlo?

Per il punto 3, come devo procede?

con $<A,B>$ intendi il sottospazio generato dai due?
io comunque calcolerei una base di quel sottospazio e la completerei ad una base di $M_2 (RR)$. il sottospazio che cerchi direi essere generato dalle matrici che completano la base.

[anto_zoolander]

@cooper
L'unione di due sottospazi, in generale, non è un sottospazio.

[cooper]

si lo stavo correggendo mentre lo inviavo.
c'è però da dire che in "generale". potrebbe essere questo un caso dove lo sia e chiede di verificarlo

[anto_zoolander]

Ah scusami
Diciamo che il testo non comporta ambiguità, però il titolo parecchie. Vi lascio

[Vicia]

Si lo so che in generale non lo è, però comunque può accadere che risulti sottospazio. Per verificarlo come devo fare?
I primi punti li ho risolti, ed ho trovato sia una base di U che una base di W. Ora per il sottospazio somma, essendo di dimensione 4, avevo pensato di prendere come base la base canonica, va bene così, oppure è totalmente sbagliato?
Per il sottospazio unione, ho unito i vettori delle basi, così ho visto che $UUW$ è formato da 5 vettori, ho effettuato la combinazione lineare per verificare se sono linearmente dipendenti o meno, ed ho verificato che i vettori sono linearmente dipendenti, quindi concludo che l'unione dei due sottospazi è sottospazio vettoriale. Giusto il ragionamento?
Per quanto riguarda $U+<A,B>$ ho individuato prima in sottospazio generato dalle due matrici, e visto che A e B sono linearmente indipendenti, e successivamente ho unito i vettori della base U con il sottospazio generato $<A,B>$ e verificato se i vettori erano linearmente indipendenti. Ho visto che erano linearmente indipendenti e quindi ho concluso che $U+<A,B>$ è sottospazio supplementare di $M_2(RR)$ essendo anche che l'intersezione è nulla.
Spero di essermi spiegata

[cooper]

Ah scusami

ma figurati!
ritornando all'argomento.. bho non saprei bene come procedere. potresti calcolare la base dei due sottospazi che lo formano e come unione prendere il sottospazio generato dalle basi. poi verifichi le condizioni di sottospazio.

[cooper]

Ora per il sottospazio somma, essendo di dimensione 4, avevo pensato di prendere come base la base canonica, va bene così, oppure è totalmente sbagliato?

in base a cosa dici che ha dimensione 4? procedi come ti ho spiegato nell'altro post.

Per il sottospazio unione, ho unito i vettori delle basi, così ho visto che UUW è formato da 5 vettori, ho effettuato la combinazione lineare per verificare se sono linearmente dipendenti o meno, ed ho verificato che i vettori sono linearmente dipendenti, quindi concludo che l'unione dei due sottospazi è sottospazio vettoriale. Giusto il ragionamento?

ho già espresso la mia opinione. detto questo per verificare che è un sottospazio perchè vedi se sono l.i. o meno? le condizioni che definiscono un sottospazio che io sappia sono altre...

Per quanto riguarda U+<A,B> ho individuato prima in sottospazio generato dalle due matrici, e visto che A e B sono linearmente indipendenti, e successivamente ho unito i vettori della base U con il sottospazio generato <A,B> e verificato se i vettori erano linearmente indipendenti. Ho visto che erano linearmente indipendenti e quindi ho concluso che U+<A,B> è sottospazio supplementare di M2(R) essendo anche che l'intersezione è nulla.

stesso commento dell'unione. detto questo se trovassi che quel sottospazio ha dimensione 4 mi verrebbe da dire che non esiste un sottospazio supplementare.

[Vicia]

in base a cosa dici che ha dimensione 4? procedi come ti ho spiegato nell'altro post.

Ha dimensione 4 perchè ho individuato il sottospazio intersezione mettendo a sistema le relazioni dello spazio U e dello spazio W, trovando così che la dimensione di $UnnW$ è 1(dipende da un solo parametro), e dalla relazione di Grassman, essendo$ dimU=2 $e $dim W=3 $ ottengo che la dimensione di $U+W$ è 4.

ho già espresso la mia opinione. detto questo per verificare che è un sottospazio perchè vedi se sono l.i. o meno? le condizioni che definiscono un sottospazio che io sappia sono altre...

Ho verificato la lineare dipendenza per vedere se i vettori erano linearmente dipendenti e quindi per vedere se quella era una base o meno di $UUW$ . Lo so che per verificare se è sottospazio si deve verificare la stabilità rispetto la somma ed il prodotto.

stesso commento dell'unione. detto questo se trovassi che quel sottospazio ha dimensione 4 mi verrebbe da dire che non esiste un sottospazio supplementare.

Perchè? Sottospazio supplementare non si intende un sottospazio che genera tutto lo spazio vettoriale e che abbia intersezione nulla?