Sottospazio unione,somma, supplementare

[anto_zoolander]

Devi vedere se $UcupW={v inV:v inU vee v inU}$ è un sottospazio di $V$

Ora se $u$ appartiene soltanto a $U$ e $w$ appartiene soltanto a $W$ di fatto appartiene a $UcupW$ ma $u+w$ non vi appartiene poiché $u+w$ non appartiene ne a $W$ ne a $U$.
Pertanto poiché $UcupW$ deve essere chiuso rispetto alla somma intanto, per ogni vettore dell'insieme Unione, la somma deve stare ancora dentro. Quindi i vettori soltanto di $U$ o soltanto di $W$ non li dobbiamo prendere in considerazione.

Se $W=U$ allora $WcupU$ è un sottospazio vettoriale.

Non so se ci siano altri casi e ho buttato giù queste due righe adesso, però in questo caso secondo me è meglio affrontare il problema da un punto di vista 'generale' più che particolare.

[cooper]

Ha dimensione 4 perchè ho individuato il sottospazio intersezione mettendo a sistema le relazioni dello spazio U e dello spazio W, trovando così che la dimensione di U∩W è 1(dipende da un solo parametro), e dalla relazione di Grassman, essendodimU=2e dimW=3 ottengo che la dimensione di U+W è 4.

ed allora in questo caso la dimensione è corretta. ma la base non puoi considerare la canonica. devi considerare come sono fatti i sottospazi che formano la somma e lavorare su quelli per trovare la base.

Ho verificato la lineare dipendenza per vedere se i vettori erano linearmente dipendenti e quindi per vedere se quella era una base o meno di UUW

ok ma da qui poi concludi che sia sottospazio, non capisco perchè. devi verificare (come ha fatto anto_zoolander) in base alla definizione di sottospazio.

Perchè? Sottospazio supplementare non si intende un sottospazio che genera tutto lo spazio vettoriale e che abbia intersezione nulla?

ho fatto questo ragionamento.
un sottospazio S si dice supplementare se $A + S =M_2$ e se $A nn S = {0}$ dove con A ho indicato il tuo sottospazio (cioè se sono in somma diretta).
se trovo che A ha dimensione 4 allora $dim(A+S)=dimA +dimS =4$ che è già la dimensione di $M_2$. vuol quindi dire che la dimensione di S deve essere 0?
non so se sia corretto, ho solo espresso la mia opinione..

[Vicia]

Per l'ultimo punto gli spazi in questione sono U e <A,B>, dove u ha dimensione 2 e <A,B> ha dimensione anche due(definito dato che ho visto che A e B sono linearmente indipendenti). Quindi $dimU+<A,B>=dimU+ dim<A,B> - dimUnn<A,B>$. Quindi in teoria 4. Non so poi se è sbagliato.

Considerando ad esempio $B_U={(1,0,0,0),(0,0,0,1)}$ (ho considerato vettori a caso) e $B_W={(1,0,2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,3)}$ (anche qui vettori a caso), come lo troveresti tu una base di U+W?

Per l'unione forse ho capito.

[cooper]

purtroppo non ho modo di controllarti i calcoli mi spiace! se quella è la dimensione io concluderei che non esiste però non saprei giusto quale sia la risposta. se non ha dimensione 4 completerei ad una base di $M_2$ la base di $U +<A,B>$

Considerando ad esempio BU={(1,0,0,0),(0,0,0,1)} (ho considerato vettori a caso) e BW={(1,0,2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,3)} (anche qui vettori a caso), come lo troveresti tu una base di U+W?

se il sottospazi erano definiti da sistemi di generatori allori consideri ala matrice formata dall'unione delle basi e riduci con Gauss: i vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne dei pivot sono una base della somma
se i sottospazi erano formati da equazioni cartesiane consideri un sistema omogeneo con tutte le equazioni che definiscono i sottospazi e da questo ne estrai una base.

[Vicia]

Va bene, grazie