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Salve, ho un problema con una proposizione che è stata scritta dal prof, ma di cui non si capisce nulla :

Sia $V$ finitamente generato e sia $dimV=n$, Allora :

i) $T$ è indipendente $=> |T| <= n$

ii) $T$ è indipendente e $|T|=n => T$ è una base

iii) $|T|=n$ e $<T>=V => T$ è una base

Queste sono le dimostrazioni :

i) Per assurdo : $T = {v_1...v_m}$ ,$m>n$

$T->T0$ $,|T|<= |T0| = dimV$ dunque contradditorio

ii) Bisogna dim che $V=<T>$

Se per assurdo $V$ non genera $T$ , $\existsv \in V \backslash <T> => T \cup{v} $ è indipendente

iii) $V_m = <S>$

$\exists T \subseteq S$ indipendente e $<T> = V_m$,

$T$ base per $V_m$

$n= |T| <= |S|=n => T=S$

Non riesco proprio a capirle, nel senso che non so a cosa possano portare

Penso che sia relativo al "lemma di Steinitz " e al teorema della dimensione. Può essere oppure ho inteso male?

ti permettono di verificare la dipendenza/indipendenza lineare e l'essere base senza fare conti.
se per esempio sei in $RR^3$ che ha dimensione 3 ed hai un sistema di 4 vettori allora per la proposizione (i) sai che questo sistema è l.d.
se invece ti viene dato un insieme di 3 vettori che sai essere l.i. allora automaticamente sai che è una base di $RR^3$ senza dover verificare che lo generano.
e così via.
@Vicia si è così

cooper ha scritto:ti permettono di verificare la dipendenza/indipendenza lineare e l'essere base senza fare conti.
se per esempio sei in $RR^3$ che ha dimensione 3 ed hai un sistema di 4 vettori allora per la proposizione (i) sai che questo sistema è l.d.
se invece ti viene dato un insieme di 3 vettori che sai essere l.i. allora automaticamente sai che è una base di $RR^3$ senza dover verificare che lo generano.
e così via.

Sì questo lo so, ma sono le dimostrazioni che non capisco, non le definizioni

Se ti può aiutare questa dimostrazione che è diversa dalla tua :
"Lemma di Steinitz"
Sia $V$ uno spazio vettoriale, e siano $T$ e $S$ due sistemi di generatori di V. Considerando che $Tsube<S>$ , possiamo affermare che $ordT<=ordS$ (dove per ordine si intende la dimensione, ovvero i vettori linearmente indipendenti che compongono una base).
Dal Lemma si passa ala "Teorema della dimensione"
Il teorema afferma che prese due basi di uno spazio vettoriale esse hanno un uguale dimensione. Dimostriamolo:
Siano $b$ e $B'$ due basi di $V$, pertanto $<b>=V$ e $<B'>=V$. Consideriamo che per assurdo la dimensione di B sia $m$ e la dimensione di B' sia $n$. Considerando che entrambe sono basi di V allora:
$Bsube<B'>$ che quindi è uguale a V $=> $ per il lemma di Steinitz $dimB<=dimB' $ e quindi $m<=n$
e
$B'sube<B>$ che quindi è uguale a V $=>$ per il lemma $dimB'<=dimB$ e quindi $n<=n$
Da queste due affermazioni allora puoi concludere che $n=m$
Quindi qualsiasi base di scegli di un sottospazio, essa avrà sempre uguale dimensione

Vicia ha scritto:Se ti può aiutare questa dimostrazione che è diversa dalla tua :
"Lemma di Steinitz"
Sia $V$ uno spazio vettoriale, e siano $T$ e $S$ due sistemi di generatori di V. Considerando che $Tsube<S>$ , possiamo affermare che $ordT<=ordS$ (dove per ordine si intende la dimensione, ovvero i vettori linearmente indipendenti che compongono una base).
Dal Lemma si passa ala "Teorema della dimensione"
Il teorema afferma che prese due basi di uno spazio vettoriale esse hanno un uguale dimensione. Dimostriamolo:
Siano $b$ e $B'$ due basi di $V$, pertanto $<b>=V$ e $<B'>=V$. Consideriamo che per assurdo la dimensione di B sia $m$ e la dimensione di B' sia $n$. Considerando che entrambe sono basi di V allora:
$Bsube<B'>$ che quindi è uguale a V $=> $ per il lemma di Steinitz $dimB<=dimB' $ e quindi $m<=n$
e
$B'sube<B>$ che quindi è uguale a V $=>$ per il lemma $dimB'<=dimB$ e quindi $n<=n$
Da queste due affermazioni allora puoi concludere che $n=m$
Quindi qualsiasi base di scegli di un sottospazio, essa avrà sempre uguale dimensione

Ti ringrazio molto, ma non è stato d'aiuto. Purtroppo il mio prof esige solo le dimostrazioni da lui spiegate, ergo quelle che ho riportate sopra. Se mi aiuti a capire quelle dimostrazioni mi faresti un gran favore

Fino alle proposizioni ci sei? Il problema sta solo nella dimostrazione o anche lì?

Vicia ha scritto:Fino alle proposizioni ci sei? Il problema sta solo nella dimostrazione o anche lì?

Sì il problema è solo nelle 3 dimostrazioni

ah scusa il titolo mi ha tratto in inganno.
i) se per assurdo hai T con $m>n$ vettori puoi estrarre un sottoinsieme di dimensione n. a questo punto i vettori che rimangono sono necessariamente dipendenti (perchè $T_0$ forma una base di V) dagli altri e quindi T non è libero
ii) se per assurdo non lo generasse esisterebbe un certo vettore $v$ che appartiene V ma non a $<T>$ per cui $t uu {v}$ è l.i. ma poichè T è formato da generatori hai che $n+1 <= n$ che è assurdo
iii) non so dove salti fuori S (ha richiamato il T del teorema S?)
io farei così: se T genera V allora esiste un sistema $T'$ contenuto in T che è base di V. non può essere che $|T'|<n$ perchè altrimenti non genererebbe V e dunque $|T'|=n=|T|$ e quindi $T=T'$ ed inoltre abbiamo che T è libero. poichè genera anche V ne è una base

cooper ha scritto:ah scusa il titolo mi ha tratto in inganno.

Sì infatti l'ho cambiato perchè avevo sbagliato

cooper ha scritto:i) se per assurdo hai T con $m>n$ vettori puoi estrarre un sottoinsieme di dimensione n. a questo punto i vettori che rimangono sono necessariamente dipendenti (perchè $T_0$ forma una base di V) dagli altri e quindi T non è libero
ii) se per assurdo non lo generasse esisterebbe un certo vettore $v$ che appartiene V ma non a $<T>$ per cui $t uu {v}$ è l.i. ma poichè T è formato da generatori hai che $n+1 <= n$ che è assurdo
iii) non so dove salti fuori S (ha richiamato il T del teorema S?)
io farei così: se T genera V allora esiste un sistema $T'$ contenuto in T che è base di V. non può essere che $|T'|<n$ perchè altrimenti non genererebbe V e dunque $|T'|=n=|T|$ e quindi $T=T'$ ed inoltre abbiamo che T è libero. poichè genera anche V ne è una base

Ti ringrazio sei stato molto utile poichè avevo segnato solo i passaggi algebrici, senza parti scritte e non capivo niente