Conica con parametri

[Vicia]

Ho un dubbio sull'ultimo punto di questo esercizio:
Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica Ck (al variare del parametro reale k) di equazione:

$kx^2 + 2xy + (k + 2)y ^2 − 2y = 0$

1)Stabilire se esistono valori di k per cui la conica è degenere e classificarla.

2)Determinare il tipo di conica al variare del parametro k.

3) Scrivere la forma canonica per k = −1.

Io volevo procedere ruotando la conica e poi traslandola, però il testo non richiedete questo(come specificato dalla mia professoressa). Come suggerimento per trovare la conica ha detto di utilizzare la similitudine tra la conica avente il parametro e la nuova conica con $k=-1$ per trovare la forma canonica.
Io avevo pensato che essendo che la rotazione ha l'obiettivo di eliminare il temine rettangolare, allora a livello qualitativo posso scrivere la conica sarà in forma canonica $-x^2+y^2-2y=0$ (già l'avevo classificata e verificato che è un'iperbole), però a quanto pare non va bene questo ragionamento. Qualche suggerimento?

[sandroroma]

Portare l'equazione di una conica in forma canonica è un procedimento piuttosto usuale, legato
essenzialmente agli autovalori ed autovettori ricavabili dall'equazione della stessa. In genere
si tratta di calcoli alquanto laboriosi che spesso ( ma non sempre!) si possono evitare con
operazioni più semplici. Nel nostro caso, con un tantino di buona volontà, vediamo che
l'equazione della conica data si scrive anche come segue:
$2(y-1/2)^2-(x-y)^2=1/2$
La trasformazione che porta la conica nella sua forma canonica é allora :
\begin{cases}X=0x+y-\frac{1}{2}\\Y=x-y+0\end{cases}
[ si tratta di una'affinitò inversa, se non erro...]
Con tali equazioni la nostra iperbole si trasforma in :
$2X^2-Y^2=1/2$