Base di spazio vettoriale

[lucads]

Salve. Vorrei un aiuto con il seguente esercizio:

Nello spazio $ mathbb(R^3) $ dato l'insieme di vettori $ S={(1,1,1),(0,1,1),(1,0,0)} $ stabilire se è una base.
Dal mio calcolo risulta che non è una base in quanto non è un sistema di generatori, mentre la risposta corretta secondo il testo è che è base. Infatti

$ lambda \mathfrak(1) ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) + lambda \mathfrak(2) ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) + lambda \mathfrak(3) ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( a ),( b ),( c ) ) $

$ { ( lambda \mathfrak(1)+ lambda \mathfrak(3) = a ),( lambda \mathfrak(1) +lambda \mathfrak(2) = b ),( lambda \mathfrak(1)+ lambda \mathfrak(2) =c ):} $

Il sistema ha come condizione b = c per cui non è possibile scrivere ogni vettore di $ mathbb(R^3) $ come combinazione lineare dei vettori dati. Quindi S non è un insieme di generatori e pertanto non è base.

[Vicia]

Ma quando devi verificare se è una base se lo devi fare tramite le combinazioni lineari, devi creare una combinazione lineare delle componenti del tuo sistema e porre che essa sia uguale al vettore nullo. Se la combinazione è banale, ovvero tutti i coefficienti (nel tuo caso $\lambda_(1,2,3)$) sono uguali a zero allora i vettori sono linearmente indipendenti, ed essendo in $RR^3$ sono una base. Se la combinazione non è banale ovvero esiste almeno un coefficiente non nullo i vettori sono linearmente dipendenti.
Oppure in maniera più semplice, puoi costruirti una matrice associata ponendo i vettori come vettori colonna, e se il rango della matrice è il rango massimo allora il sistema sarà composto da vettori linearmente indipendenti. Caso contrario, saranno linearmente dipendenti.

[Ernesto01]

In realtà il procedimento è giusto , hai dimostrato che non generano lo spazio e quindi non sono una base.
Potevi anche notare che $(1,1,1)=(0,1,1)+(1,0,0)$ e quindi non sono linearmente indipendenti.
Direi che o hai trascritto male i vettori del testo oppure è sbagliato il risultato del libro

[AAnto]

Ti rendi conto che non costituiscono una base in quanto è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Lo scopri facilmente andando a calcolare il rango della seguente matrice
$((1,1,1), (0,1,1),(1,0,0))$ .
Riduci velocemente a scala e ricavi la seguente matrice
$((1,1,1), (0,1,1), (0,0,0))$ .
Pertanto rango della matrice è 2 < 3.
I vettori non sono sicuramente base di $R^3$ in quanto non sono linearmente indipendenti