Buonasera a tutti, ho qui questo (lungo) esercizio sui sottospazi polinomiali :
Si considerino i seguenti vettori dello spazio vettoriale $RR[x]$
$f(x)=x^5+2x^6-x^8$
$g(x)=x^6+3x^8$
$h(x)=2x^5+5x^6+x^8$
$k(x)=2g(x)=2x^6+6x^8$
Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (motivando la risposta)
$1)\ 2f(x)+g(x)-h(x)$ è il polinomio nullo
$2)\ f(x)$ e $h(x)$ sono linearmente dipendenti
$3)$ Ciascuno dei vettori $f(x), g(x),h(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$4) {f(x),g(x),k(x)} $ è un sistema linearmente indipendente
$5)$ Ciascuno dei vettori $f(x),g(x),k(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$6)$ Il vettore $l(x)=3k(x)$ può essere espresso in unico modo come combinazione lineare di $f(x),g(x),k(x)$
Ovviamente non vi chiedo di risolvere tutti e $6$ i punti, ci mancherebbe altro, più che altro vorrei sapere che modo potrei utilizzare per risolvere questo esercizio : avevo pensato di trasformare i polinomi nei loro vettori in base canonica, per poi creare una matrice, anche se viene effettivamente enorme pensando che sono di grado al più $8$
A parte il punto $1$ che mi sembra immediato, gli altri 5 come li risolvereste voi?