Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda mklplo » 17/08/2017, 14:52

Salve,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente esercizio?
L'esercizio è questo:"Se \( F=\{\mathbb{R},+,*\} \) mostra che l'insieme delle funzioni continue \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) sull'intervallo chiuso \( [0,1] \),forma uno spazio vettoriale su $F$.
E mostra che tutte le derivate n-esime delle funzioni $C^n$ formano un sottospazio vettoriale su $F$."
(spero che la traduzione sia corretta)
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda vict85 » 17/08/2017, 15:01

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Sposto in geometria e algebra lineare.

Il Regolamento prevede un tentativo da parte tua.
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda mklplo » 17/08/2017, 15:06

lo so,però non so proprio da dove iniziare a dimostrare,oppure se esistono formulazioni equivalenti del problema che mi potrebbero aiutare a risolvere il problema.
p.s:questo esercizio è di algebra lineare(te lo chiedo perché l'ho preso da un libro che dovrebbe essere di algebra astratta)?
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda feddy » 17/08/2017, 16:13

Devi pensare quali sono gli assiomi che deve soddisfare uno spazio vettoriale e all'operazione che è definita.

Per iniziare, date $f,g$ funzioni $C^{0}[0,1]$ e le operazioni $+: f+g(x)=f(x)+g(x)$ e $*:c*g(x)=c* g(x)$, devi verificare anzitutto la chiusura per somma e moltiplicazione per scalare. Cioè $f+g(x) \in C^{0}[0,1]$ e $\mu f \in C^{0}[0,1]$.
Sto sostanzialmente dicendo che la somma di due funzioni continue è ancora continua, analogamente con la moltiplicazione per scalare.
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda mklplo » 17/08/2017, 16:16

feddy ha scritto:Sto sostanzialmente dicendo che la somma di due funzioni continue è ancora continua, analogamente con la moltiplicazione per scalare.

Ti ringrazio,così è più facile da capire.
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda feddy » 17/08/2017, 16:19

Di nulla, non te l'ho detto ma credo sia chiaro tu lo debba verificare per due funzioni qualisasi mediante la definizione di funzione continua.
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda mklplo » 17/08/2017, 16:20

Un modo per dimostrare questo sarebbe quindi applicare il criterio di convergenza di Cauchy per le funzioni?
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda feddy » 17/08/2017, 16:26

Intendi questo? Secondo me la complichi e basta,ammesso che possa servire a qualcosa.

Come ti ho detto, basta la definizione di funzione continua. Cosa vuol dire che $f$ è continua in $[0,1]$?
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda mklplo » 17/08/2017, 16:32

l'unica definizione di funzione continua che conosco è quest:https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continua#Definizione_epsilon-delta ,anche se non so se ti riferivi a questa.
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Re: Esercizio sugli spazi vettoriali

Messaggioda feddy » 17/08/2017, 16:37

Certo che mi riferisco a quella: è la prima definizione di continuità che si vede già al liceo o nel primo mese di Analisi I.E' che tu mi hai parlato di criterio di convergenza di Cauchy e si usa per l'esistenza di limiti... scusa la domanda, ma che libro segui di algebra lineare?

Ad ogni modo, ora sai come procedere
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