Esercizio sugli spazi vettoriali

[mklplo]

Grazie per l'aiuto,per sapere come faccio con la seconda parte,che riguarda le derivate?
p.s:il libro che seguo e penso che sia di algebra astratta è questo:"Topics in Algebra,I.N.Herstein".

[feddy]

Scusa ma mi hai risposto dopo neanche 10 minuti, hai già fatto?

Pensaci un po' su almeno

[mklplo]

per la prima parte sì,per la seconda provo ancora...

[mklplo]

Pensandoci un po',forse(ma forse)qualche modo per risolverlo mi è venuto,però non so come formalizzarlo.
La prima cosa che ho pensato,è che l'insieme delle funzioni e l'insieme delle derivate hanno le stesse proprietà e quindi quest'ultime posso formare uno spazio vettoriale.Poi da qui c'era da provare che il primo spazio contenga il secondo,e per farlo ho pensato che l'insieme delle funzioni ha una classe $C$ di funzioni in più di quello delle derivate.(anche se ammetto che scrivendolo mi sono aumentati terribilmente i dubbi)

[feddy]

Un momento, leggendo il tuo testo mi sono accorto che hai tradotto un po' maluccio. Meglio se chiami $C^n$ le funzioni derivabili $n$-volte. Quello che devi mostrare è che le funzioni derivabili n volte sono un sottospazio vettoriale di $\mathbb{F}$.

Che proprietà deve soddisfare un sottospazio vettoriale?
Dovrebbe esserti più o meno noto che $C^k(RR) \subset C^{k-1}(RR) \subset \ldots \subset C^{0}(RR)$

[mklplo]

Dovrebbe essere $C^(K+1)(RR)$?

[feddy]

L'inclusione è quella che ti ho scritto. Per esempio lo spazio delle funzioni differenziabili su $RR$ con continuità, cioè $C^1(RR)$, è incluso nello spazio $C^0(RR)$ delle funzioni continue.

[mklplo]

e quindi lo spazio delle funzioni,contiene quello delle derivate e quindi il secondo è un sottospazio del primo,giusto?

[feddy]

Occhio, devi dimostrare che è un sottospazio. Per ora sai solo che è un sottinsieme

[mklplo]

però,dato che valgono tutte le proprietà sotto le operazioni dello spazio,allora è un sottospazio,in fondo sono sempre funzioni continue definite sullo stesso insieme.