Notazioni. "Spazio" significa spazio compattamente generato, debolmente Hausdorff. $I=[0,1]$ è il sottospazio di $\mathbb R$ con la solita topologia; per ogni spazio $Y$, denotiamo $Y^I$ lo spazio di tutti i cammini $\gamma : I \to Y$ con la topologia compatta aperta. Denotiamo \(@_\epsilon : Y^I\to Y\) per $\epsilon=0,1$ la funzione continua che valuta un cammino nel suo punto iniziale/finale (più in generale, v. qui).
Diciamo che una mappa di spazi topologici \(i : A \to X\) è una cofibrazione se in ogni quadrato commutativo
\[
\begin{CD}
A @>u>> Y^I \\
@ViVV @VV@_0V \\
X @>>v> Y
\end{CD}
\] esiste una $\varphi : X \to Y^I$ tale che \(@_0 \circ \varphi=v\), $\varphi \circ i = u$, se $Y$ è un qualsiasi spazio.
1. Dimostrate che $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se ogni omotopia $H_A : A\times I \to Y$ tra $f \circ i$ e un'altra mappa $g : A\to Y$ si riesce ad estendere a un'omotopia $H : X \times I \to Y$ tra $f$ e $f'$, per $f, f' : X\to Y$. In altre parole le cofibrazioni hanno la proprietà di estendere le omotopie.
2. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] commuti a meno di una omotopia \(gi \simeq jf\), dimostrate che se $i$ è una cofibrazione, allora esiste $g' : B \to D$ tale che $g'i = jf$; in altre parole, se $i$ è una cofibrazione si può rimpiazzare ogni quadrato analogo a quello sopra, che commuta a meno di omotopia, con uno che commuta davvero.
2.bis. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] sia un pushout, e che $i$ sia una cofibrazione, dimostrare che lo è $j$.
3. Mostrare che l'inclusione di $\mathbb Q$ in $\mathbb R$ non è una cofibrazione.
3.bis. Mostrare che se $i : A \to X$ è una cofibrazione, tale è anche $i\times Z : A\times Z \to X\times Z$ per ogni spazio $Z$.
4. Mostrare che le condizioni seguenti sono equivalenti:
i. $i : A \to X$ è una cofibrazione;
ii. l'inclusione \( P=(A\times I)\cup_{A} X \hookrightarrow X\times I\) ammette una retrazione $r : X\times I \to P$;
iii. $P$ è un retratto di deformazione forte di $X\times I$.
Per futura memoria, chiamiamo $(r_X,r_I) : X\times I\to X,I$ le componenti di questa retrazione. Si tratta di mappe continue il cui prodotto $r : X\times I\to P$ ristretto a $P$ ne sia l'identità, e tali per cui la composizione $ir$ sia omotopa all'identità di $X\times I$.
Una ulteriore caratterizzazione delle cofibrazioni è la seguente, dovuta a Strøm:
iv. $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se esiste una funzione $\varphi : X \to I$ tale che $\varphi^{-1}(0)=A$, ed esiste un aperto $V$, $A \subseteq V \subseteq \varphi^{-1}[0,1[$ tale che $A\to U$ sia un retratto di deformazione forte.
(Sugg.: se $i$ è una cofibrazione, provare che
\(U = \{x\in X\mid r_X(x,1)\in A\}\) (nelle notazioni di sopra)
\(\varphi(x)=\sup_{s\in I}|s-r_I(x,s)|\)
soddisfano le condizioni della proposizione).