Bremen000 ha scritto:A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$
Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.
Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).
Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.
Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.
($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.
Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.
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