Esercizio sulla connessione (e per archi)

[otta96]

Vi propongo un esercizio (nel senso che io l'ho già risolto) che mi è piaciuto, sia $X=QQ^\infty$ la compattificazione di Alexandroff di $QQ$, si dimostri che $X$ è connesso ma totalmente sconnesso per archi (le componenti connesse per archi sono i singoletti).

[otta96]

Nessuno vuole provarci?

[otta96]

Dai su, proprio nessuno vuole provarci? E fatemi contento, daiii

[j18eos]

È nella mia to do list...

[killing_buddha]

$QQ$ è totalmente sconnesso, e $\infty$ è un punto di dispersione di $QQ^\infty$; gli spazi con un punto di dispersione sono connessi.

Per la connessione per archi, ovviamente ogni cammino a valori in $QQ$ è costante (perché $QQ$ prende la topologia discreta dalla metrica euclidea -whoops, questa è sbagliata; vedi sotto); rimane da vedere che è costante anche un cammino che assume come valore $\infty$.

[j18eos]

...perché $QQ$ prende la topologia discreta dalla metrica euclidea...

Veramente?

[killing_buddha]

No, chiaramente è falso. Quello che volevo dire è che è totalmente disconnesso, quindi l'immagine di un intervallo deve essere un singoletto.

[j18eos]

Ora sono d'accordo!

[Bremen000]

Ci provo, almeno per il primo pezzo.

A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$


Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.

Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.

Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).

Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.

Quindi $QQ^{\infty}$ è connesso.


($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.

Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.

[otta96]

A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$

In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).

Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.

Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).

Perfetto.

Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.

Questo secondo me potevi accorciarlo, quando prima avevi detto:

Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.

potevi aggiungere "ma almeno uno dei due lo deve contenere, dunque non è possibile che $A,B\notin\tau$".

($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.

Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.

Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.

Puoi stare tranquillo, allora

P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a $X$ di quando $X^\infty$ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).