02/12/2017, 14:53
otta96 ha scritto:In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).
otta96 ha scritto:Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
otta96 ha scritto:P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a X di quando X∞ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).
02/12/2017, 15:55
Bremen000 ha scritto:Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no?
Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$.
Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata.
Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non vuoto non è mai compatto.
02/12/2017, 21:07
otta96 ha scritto:Infatti non era quella l'implicazione a cui stavo pensando, quanto piuttosto a $\text{non chiuso in }RR=>\text{non compatto}$.
otta96 ha scritto:Anche io avevo pensati a quali fossero i compatti di $ QQ $, ma mi sono convinto che sono di difficile caratterizzazione, ad esempio quella tua non va bene perché anche $ {1/n+1/m|n,m\inNN}\cup{1/n|n\inNN}\cup{0} $ è compatto, ma non è unione FINITA di successioni convergenti, l'osservazione sugli aperti è giusta.
02/12/2017, 22:09
Mi sono accorto che sono stato impreciso, volevo dire son compatti in $QQ$
.Immagini di successioni convergenti in $QQ$ unite al loro limite
.Insiemi finiti
Ovviamente anche le loro unioni finite sono compatti.
Come dicevo credevo che fosse vero che questi sono gli unici compatti di $QQ$ ma, come dici, probabilmente mi sbaglio.
L'esempio che hai fatto tu però non l'ho capito benissimo anche perché l'insieme
${1/n+1/m|n,m\inNN}$ è l'immagine di una certa successione perché $NN \times NN$ è in biiezione con $NN$ e se ci aggiungo lo $0$ che dovrebbe essere l'unico punto di accumulazione di questo insieme, ottengo l'immagine di una successione e il suo limite. Ma devo aver frainteso qualcosa
03/12/2017, 15:16
otta96 ha scritto:Guarda che avevo capito, sinceramente ti eri spiegato prima.
otta96 ha scritto:Ma te avevi detto successioni CONVERGENTI, se si prendono immagini di successioni qualsiasi non si sta dicendo altro che gli insiemi numerabili, tra cui $ QQ $, ma non tutti i numerabili sono compatti.
03/12/2017, 20:02
03/12/2017, 22:46
06/12/2017, 23:15
06/12/2017, 23:30
Bremen000 ha scritto:L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.
L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.
06/12/2017, 23:50
otta96 ha scritto:Puoi spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito che passaggi fai, e nemmeno quale sia l'insieme che stai considerando.
otta96 ha scritto:In realtà ne ha una, perché $ p=1 $.
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