Esercizio sulla connessione (e per archi)

In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).

Ma la cosa meravigliosa è che avevo la definizione scritta davanti ma non ho copiato la parola "chiuso" dal foglio al pc. Poi tanto ero in $QQ$ che è di Hausdorff e quindi non me ne sono preoccupato. Grazie per avermelo fatto notare!

Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.

Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no? Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$. Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata. Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non è mai compatto.

P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a X di quando X∞ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).

In questi giorni, in treno o in momenti di particolare creatività cercherò di fare qualcosa sulla seconda parte!

Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.

Eheheh, capita

Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no?

Certo, (a parte che è vero sempre, ma sono convinto che tu intendessi non banali) perché $QQ$ non è connesso.

Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$.

Sarabbe meglio scriverlo così $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))\capQQ$, ma senz'altro è un esempio che va bene.

Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata.

Infatti non era quella l'implicazione a cui stavo pensando, quanto piuttosto a $\text{non chiuso in }RR=>\text{non compatto}$.

Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non vuoto non è mai compatto.

Anche io avevo pensati a quali fossero i compatti di $QQ$, ma mi sono convinto che sono di difficile caratterizzazione, ad esempio quella tua non va bene perché anche ${1/n+1/m|n,m\inNN}\cup{1/n|n\inNN}\cup{0}$ è compatto, ma non è unione FINITA di successioni convergenti, l'osservazione sugli aperti è giusta.

Infatti non era quella l'implicazione a cui stavo pensando, quanto piuttosto a $\text{non chiuso in }RR=>\text{non compatto}$.

Ora ho capito cosa intendevi!

Anche io avevo pensati a quali fossero i compatti di $ QQ $, ma mi sono convinto che sono di difficile caratterizzazione, ad esempio quella tua non va bene perché anche $ {1/n+1/m|n,m\inNN}\cup{1/n|n\inNN}\cup{0} $ è compatto, ma non è unione FINITA di successioni convergenti, l'osservazione sugli aperti è giusta.

Mi sono accorto che sono stato impreciso, volevo dire son compatti in $QQ$
.Immagini di successioni convergenti in $QQ$ unite al loro limite
.Insiemi finiti

Ovviamente anche le loro unioni finite sono compatti.

Come dicevo credevo che fosse vero che questi sono gli unici compatti di $QQ$ ma, come dici, probabilmente mi sbaglio.
L'esempio che hai fatto tu però non l'ho capito benissimo anche perché l'insieme
${1/n+1/m|n,m\inNN}$ è l'immagine di una certa successione perché $NN \times NN$ è in biiezione con $NN$ e se ci aggiungo lo $0$ che dovrebbe essere l'unico punto di accumulazione di questo insieme, ottengo l'immagine di una successione e il suo limite. Ma devo aver frainteso qualcosa

Mi sono accorto che sono stato impreciso, volevo dire son compatti in $QQ$
.Immagini di successioni convergenti in $QQ$ unite al loro limite
.Insiemi finiti

Ovviamente anche le loro unioni finite sono compatti.

Guarda che avevo capito, sinceramente ti eri spiegato prima.

Come dicevo credevo che fosse vero che questi sono gli unici compatti di $QQ$ ma, come dici, probabilmente mi sbaglio.
L'esempio che hai fatto tu però non l'ho capito benissimo anche perché l'insieme
${1/n+1/m|n,m\inNN}$ è l'immagine di una certa successione perché $NN \times NN$ è in biiezione con $NN$ e se ci aggiungo lo $0$ che dovrebbe essere l'unico punto di accumulazione di questo insieme, ottengo l'immagine di una successione e il suo limite. Ma devo aver frainteso qualcosa

Ma te avevi detto successioni CONVERGENTI, se si prendono immagini di successioni qualsiasi non si sta dicendo altro che gli insiemi numerabili, tra cui $QQ$, ma non tutti i numerabili sono compatti.

Guarda che avevo capito, sinceramente ti eri spiegato prima.

Bene
E' che non avevo scritto esplicitamente che ci piazzavo anche il loro limite!

Ma te avevi detto successioni CONVERGENTI, se si prendono immagini di successioni qualsiasi non si sta dicendo altro che gli insiemi numerabili, tra cui $ QQ $, ma non tutti i numerabili sono compatti.

Non volevo dire immagini di qualsiasi successione.
Il mio dubbio era se l'insieme $ {1/n+1/m|n,m\inNN_0} $ non si potesse scrivere come immagine di una qualche successione convergente in $QQ$.

Ma lo sai che forse hai ragione? Io pensavo che quello fosse un controesempio credendo che ${1/n+1/m|n,m\inNN_0}$ avesse come punti di accumulazione $ {1/n|n\inNN_0}\cup{0} $, ma mentre te lo stavo scrivendo mi sono accorto che $1/n$ ci appartengono a quell'insieme...
Quindi forse è giusta quella caratterizzazione.

Chissà, in ogni caso qua abbiamo fior fior di geometri che potranno chiarire questo dubbio!

Tentativo della seconda parte:

Se il cammino non assume il valore infinito allora non può che essere costante essendo continuo anche rispetto alla topologia di $QQ$ ed essendo $QQ$ totalmente disconnesso.

Se il cammino assume il valore $\infty$:

Supponiamo per assurdo esista un cammino $\alpha : [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo e non costante che contiene $\infty$ e anche (essendo non costante) un altro punto, ovvero esistono $x,y$ in $[0,1]$ t.c. $\alpha(x) \ne \alpha(y) = \infty$, senza perdere di generalità considero $x<y$.

L'insieme $\{\infty \}$ è chiuso in $Q^{\infty}$ (il suo complementare è $QQ$ che è aperto in $QQ^{infty}$ essendo esso aperto pure in $QQ$). Dunque $C:= \alpha^{-1}(\infty)$ è chiuso.

L'insieme $K:= [x,1] \cap C$ è chiuso perché intersezione di chiusi, è non vuoto ($y \in K$) ed è anche limitato perché contenuto in $[0,1]$. Quindi è compatto dunque ammette un minimo $z$. L'insieme $[x,z]$ è tale che l'unico suo elemento avente per immagine $\infty$ è $z$. Sia $\overline{\alpha}$ il cammino $\alpha$ ristretto a $[x,z]$.

Il cammino $\gamma: = \overline{\alpha} \circ f$ con $f: [0,1] \to [x,z]$ tale che $f(t)= t(z-x)+x$ è ancora un cammino continuo e non costante $\gamma: [0,1] \to QQ^{\infty}$ tale per cui $\exists! p \in [0,1]$ t.c. $\gamma(p) = \infty$.

L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.

Dunque abbiamo che l'immagine di $\gamma$ deve essere infinita (numerabile) e inoltre c'è un solo punto $p \in [0,1]$ tale che la sua immagine sia $\infty$.

L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.

Dunque ogni cammino $\alpha [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo deve essere costante.

L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.

Puoi spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito che passaggi fai, e nemmeno quale sia l'insieme che stai considerando.

L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.

In realtà ne ha una, perché $p=1$.

Puoi spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito che passaggi fai, e nemmeno quale sia l'insieme che stai considerando.

Purtroppo non riesco a scrivere $\gamma(A)$ con $A=[0,1]$, mi toglie le quadre; se sai come si fa, ti prego dimmelo.

Detto $A=[0,1]$ si ha che $\gamma(A)$ non può essere costituito da un numero finito di punti: se così fosse, posto
$\gamma(A)= \{q_1, ..., q_N \}$ si avrebbe che $A= \gamma^{-1}(\{q_1, ..., q_N \}) = \bigcup_{n=1}^N \gamma^{-1}(q_n)$ ma $\{q_n\}$ è chiuso in $Q^{\infty}$ per ogni $n=1:N$ ($\ast$)

In questa maniera avrei scritto $A$ come unione disgiunta di chiusi non vuoti, ma questo è assurdo perché $A$ è connesso.

$(\ast)$ :
Se $q_n \in QQ$ allora $\{q_n\}^c = QQ^{\infty}-\{q_n\}$ è aperto in $QQ^{\infty}$ essendo $\{q_n\}$ compatto in $Q$.
Se $q_n = \infty$ ho già scritto che $\{\infty}$ è un chiuso.
In ogni caso $\{q_n\}$ è un chiuso in $QQ^{\infty}$.

In realtà ne ha una, perché $ p=1 $.

Vero anche questo, l'assurdo dovrebbe esserci comunque.