Esercizio(Analisi/Topologia):Punti interni,esterni,di frontiera e di Accumulazione

[j18eos]

Ti devo accompagnare con la mano...

Domanda 3: per definizione hai che \(\displaystyle\partial E=\overline{E}\cap\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\); riesci a calcolare questi insiemi, e poi la loro intersezione?

E ti ricordo che \(\displaystyle[a,b[\subset\mathbb{R}\) ha per frontiera \(\displaystyle\{a,b\}\) e come insieme dei punti di accumulazione \(\displaystyle[a,b]\), nella topologia naturale!

[mklplo]

Dai calcoli che ho fatto mi risulta che:
\( C(E)=C(A\cup B)=C(A) \cap C(B) \),che dovrebbe essere un disco centrato nell'origine(inclusa la circonferenza),con raggio unitario,esclusi i punti di $B$.La frontiera di tale insieme dovrebbe essere la circonferenza unitaria+l'insieme \( B \cap([-1,1]\times[-1,1]) \).Giusto?
($C(E)$ indica il complemento d $E$).
p.s:so che ho già scritto questi conti ma non dicendomi ne se fossero giusti ne sbagliati non so cosa se siano corretti.

[j18eos]

Brevemente: una circonferenza unitaria, con un due raggi ortogonali; va bene. Questi è un insieme chiuso?

[mklplo]

Grazie per la risposta.
Sì,penso sia un insieme chiuso.

[j18eos]

Prego, di nulla; ora però devi dimostrare che è un insieme chiuso

[mklplo]

Questo è un po' più complicato,ti faccio sapere dopo.

[mklplo]

Allora la dimostrazione,non so come farla in modo rigoroso,ma dato che l'intersezione tra $B$ e $[0,1]\times [0,1]$ è un intervallo chiuso e dato che anche la circonferenza lo è,applico una proprietà di tali insiemi che mi dice che l'unione finita di insiemi chiusi e a sua volta un insieme chiuso,da qui ne consegue che la frontiera di $E$ è chiusa,come ovvio che sia.

[j18eos]

Non è che ci abbia capìto molto...

Dalla definizione hai che \(\displaystyle\overline{E}=\overline{A}\cup\overline{B}\); essendo \(\displaystyle B\) un insieme chiuso, devi calcolare \(\displaystyle\overline{A}\), il quale è \(\displaystyle\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\geq1\}\) (perché?).

Con un semplice disegno di accorgi che \(\displaystyle\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\) è il disco chiuso di raggio \(\displaystyle1\)...

Quindi la frontiera di \(\displaystyle E\) è la circonferenza di centro \(\displaystyle(0,0)\), raggio \(\displaystyle1\), e i suoi diametri verticale ed orizzontale.

Ti torna tutto?

[mklplo]

Grazie ho capito,quindi è così che avrei dovuto esporre la dimostrazione?
Per sapere,è corretto dire che l'insieme derivato di $E$ è $A$?

[j18eos]

No, ci mancano dei punti; per esempio: \(B\) è contenuto nel derivato di \(E\)?