Esercizio(Analisi/Topologia):Punti interni,esterni,di frontiera e di Accumulazione

Scusa,ma i punti di accumulazione possono essere anche di frontiera,che appartengono ad $E$?
Perché se così fosse,penso che l'insieme $E'=E-\partial A$(con $E'$ indico l'insieme derivato).Giusto?

No, assolutamente; e quello non è l'insieme derivato \(\displaystyle E^{\prime}\).

Esercizi: Pensa a un intervallo chiuso (limitato o illimitato non importa) di \(\displaystyle\mathbb{R}\), o la circonferenza \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); e calcola le loro frontiere e i loro insiemi derivati!

Allora,penso che sia un intervallo chiuso,che la circonferenza $\mathbbS^1$ dovrebbero essere insiemi perfetti,in quanto ogni intorno,di ogni loro punto contiene infiniti punti.Per quanto riguarda la frontiera,se non sbaglio,nel primo caso dovrebbe corrispondere agli estremi dell'intervallo,mentre ne secondo mi verrebbe da dire che è tutta la circonferenza,ma non ne sono per niente sicuro.

Tutto esatto; e come vedi le loro frontiere si intersecano coi loro insiemi derivati.

Tornando all'esercizio tuo...

Per prima cosa trovo $A'$ e $B$,allora,$B'=B$,mentre $A'$ penso sia uguale alla chiusura di $A$,perché tutti i punti di frontiera sono anche di accumulazione.Allora non mi rimane che pensare che la chiusura di $E$ sia un insieme perfetto,infatti la chiusura di $E$ è uguale all'unione di $B$ con la chiusura di $A$.Spero che sia giusto.

Più che altro hai dimostrato che \(\displaystyle\overline{E}=E^{\prime}\).

Prossima domanda...

scusa,ma una volta dimostrato che la chiusura di $E$ è anche il derivato dell'insieme che rimane da fare?

Ah: l'esercizio è finito!

Grazie per il tuo aiuto,se non ti dispiace,potresti passare per questo topic:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=178934?