Cilindro indefinito

[Faffa]

Ciao a tutti, ho un problema riguardo quest'equazione:

$((x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz))=4$
come posso a fare a vedere che è un cilindro indefinito ellittico ? l'equazione del cilindro è:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1$

e non riesco in alcun modo a trasformarla in un equazione di questo tipo



Vi ringrazio a priori.

[Faffa]

Grazie mille, spiegazione a dir poco perfetta !!!!

[Vulplasir]

Ma se la sezione normale all'asse del cilindro è ellittica, come fa a trattarsi di una superficie di rotazione?

[Candel]

TeM da quale fonte hai appreso quelle informazioni sulle coniche ? Vorrei anche io andare più a fondo sulla questione ,grazie.

[Faffa]

Grazie per l'aiuto a entrambi !!!

Ne approfitto per farti alcune domande, dato che il corso di algebra e geometria che ho frequentato al primo anno era tutto algebra e quasi nulla di geometria.
Detto ciò ecco le domande:

1)Qui

Non è tutto! Notando che due autovalori di \( B \) sono coincidenti segue che si tratta di una quadrica di rotazione, quindi precisamente si tratta di un cilindro circolare

Perché dopo aver affermato che la quadrica fosse di rotazione hai capito che era un cilindro circolare e non ellittico ?

2)perché intersecando il cilindro circolare con il piano avente direzione $(1,1,1)$ non ottieniamo la circonferenza ricercata, ma otteniamo la proiezione della circonferenza su $z=0$ ossia un ellisse ? Perché non c'è modo di ottenerla direttamente ma bisogna passare per la sua proiezione ossia l'ellisse ?

3)la formula della curva di sostegno da dove si ricava :
$(x\,y\,z) := \mathbf{r}(u) = (a\cos u + b\sin u, \ c\cos u + d\sin u,\-(a\cos u + b\sin u + c\cos u + d\sin u))$
ho provato a cercarla su internet ma non ho trovato nulla

4) ultima domanda, non capisco perché hai fatto
$\mathbf{r}(u)+\mathbf{s}v$
cosa rappresenta?


ti ringrazio a priori e chiedo scusa per le troppe domande

[Faffa]

Ti ringrazio per l'aiuto !!! Approvo in pieno, infatti sto cercando delle dispense su internet per recuperare questa grandissima lacuna

Ultime due domande poi ti lascio in pace
1)L'equazione della nostra ellisse in $RR^2$ è $3x^2 + 3xy + 3y^2 - 4 =0$, che calcolo hai fatto per ricavare i coefficienti $a,b,c,d$ ?

2)quest'altra domanda spero non sia troppo stupida :
Perché per ottenere l'equazione parametrica della circonferenza $\Gamma$, hai sfruttato la $r(u)$ dove la $x(u)$ e la $y(u)$ sono stati ottenuti dalla parametrizzazione dell'ellisse e poi hai sfruttato la $z=-x-y$ che è il piano su cui giace la circonferenza ? Non si poteva scrivere $x(u)$ e $y(u)$ sfruttando la circonferenza ? Oppure facendo così, è come se stessimo "proiettando" l'ellisse sul piano $z=-x-y$ in modo da ottenere una circonferenza ?
Ho provato a leggere la strategia più rigorosa ma ho troppe lacune...


Spero che le domande siano abbastanza chiare, ti ringrazio nuovamente !

[Faffa]

Grazie mille sei stato veramente chiaro !!

Grazie per i link