Sezioni Piane di una Quadrica
Inviato: 13/09/2017, 09:06
Mi servirebbero delle delucidazioni riguardo le condizioni da applicare per trovare le sezioni piane di una quadrica. Mi spiego meglio:
Data, nello spazio $RR^{3}$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali 0xyz, la quadrica di equazione:
\[Q : x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0\]
Classificarla e determinare su Q, se possibile, una sezione piana che sia un'ellisse, una che sia una parabola ed una che sia un'iperbole.
Per la classificazione, le matrici associate sono:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Da cui $detA > 0, detB != 0$ e gli autovalori di B di segni diversi, dunque la quadrica è un Iperboloide Iperbolico.
Ora per trovare le sezioni piane metto a sistema la quadrica con l'equazione generica di un piano :
$ { (x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0),(ax + by + cz + d = 0):} $
Suppongo $b != 0$ per mettere in evidenza la y e trovo:
$ { (x^{2} + z^{2} -\frac{a}{b}x^{2} -\frac{c}{b}xz -\frac{d}{b}x + x - z = 0),(y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}z -\frac{d}{b}):}$
E a questo punto non so come continuare. Quali sono le condizioni da applicare per trovare ellisse, parabola ed iperbole???
Data, nello spazio $RR^{3}$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali 0xyz, la quadrica di equazione:
\[Q : x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0\]
Classificarla e determinare su Q, se possibile, una sezione piana che sia un'ellisse, una che sia una parabola ed una che sia un'iperbole.
Per la classificazione, le matrici associate sono:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Da cui $detA > 0, detB != 0$ e gli autovalori di B di segni diversi, dunque la quadrica è un Iperboloide Iperbolico.
Ora per trovare le sezioni piane metto a sistema la quadrica con l'equazione generica di un piano :
$ { (x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0),(ax + by + cz + d = 0):} $
Suppongo $b != 0$ per mettere in evidenza la y e trovo:
$ { (x^{2} + z^{2} -\frac{a}{b}x^{2} -\frac{c}{b}xz -\frac{d}{b}x + x - z = 0),(y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}z -\frac{d}{b}):}$
E a questo punto non so come continuare. Quali sono le condizioni da applicare per trovare ellisse, parabola ed iperbole???